MP Board Class 10 Maths Chapter 9: Some Applications of T…
🏗️ MP Board Class 10 Maths — Chapter 9: त्रिकोणमिति के अनुप्रयोग (Some Applications of Trigonometry)
📌 Key Concepts & Formulas
1. उन्नयन कोण (Angle of Elevation)
वह कोण जो प्रेक्षक (observer) की आँख से किसी ऊँची वस्तु के शीर्ष पर जाने वाली रेखा, क्षैतिज रेखा (horizontal line) के साथ बनाती है।
वस्तु का शीर्ष (Top)
/|
/ |
/ | ऊँचाई (Height)
/ |
/ θ |
प्रेक्षक -------- क्षैतिज
|___दूरी (Distance)___|
- θ = उन्नयन कोण
- जब प्रेक्षक नीचे से ऊपर देखता है
2. अवनमन कोण (Angle of Depression)
वह कोण जो प्रेक्षक की आँख से किसी नीचे की वस्तु पर जाने वाली रेखा, क्षैतिज रेखा के साथ बनाती है।
प्रेक्षक --------- क्षैतिज
\ θ |
\ |
\ | ऊँचाई
\|
वस्तु (Object)
- θ = अवनमन कोण
- जब प्रेक्षक ऊपर से नीचे देखता है
3. महत्वपूर्ण सूत्र (Important Formulas)
समकोण त्रिभुज में:
| स्थिति (Situation) | सूत्र (Formula) |
|---|---|
| ऊँचाई ज्ञात करनी हो, दूरी दी हो | ऊँचाई = दूरी × tan θ |
| दूरी ज्ञात करनी हो, ऊँचाई दी हो | दूरी = ऊँचाई / tan θ |
| ऊँचाई = दूरी = समान (जब θ = 45°) | tan 45° = 1 |
मुख्य त्रिकोणमितीय अनुपात:
| कोण | sin | cos | tan |
|—|—|—|—|
| 30° | 1/2 | √3/2 | 1/√3 |
| 45° | 1/√2 | 1/√2 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 |
4. दो मीनारों / ऊँचाइयों वाली समस्या
जब दो वस्तुएँ एक ही ओर हों:
– बड़ा कोण → करीब की वस्तु (दूरी कम)
– छोटा कोण → दूर की वस्तु (दूरी अधिक)
महत्वपूर्ण: हमेशा समकोण त्रिभुज बनाएँ, क्षैतिज रेखा (आधार) और ऊर्ध्वाधर (लंब) को सही-सही पहचानें।
📝 Solved Examples (5)
Example 1: मीनार की ऊँचाई ज्ञात करना (Angle of Elevation)
एक मीनार के पाद से 30 मीटर दूर स्थित बिंदु से, मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 30° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात करें।
Step 1: समकोण त्रिभुज बनाएँ:
– आधार (दूरी) = 30 m
– लंब (ऊँचाई) = h (ज्ञात करना है)
– उन्नयन कोण θ = 30°
Step 2: सूत्र लगाएँ:
tan θ = लंब / आधार
tan 30° = h / 30
1/√3 = h / 30
Step 3: h निकालें:
h = 30 / √3
h = 30√3 / 3 (परिमेयकरण)
h = 10√3 m
✅ उत्तर: मीनार की ऊँचाई = 10√3 मीटर ≈ 17.32 मीटर
Example 2: एक मीनार की परछाई (Shadow) से ऊँचाई
जब सूर्य का उन्नयन कोण 60° है, तो एक मीनार की परछाई की लंबाई 15 मीटर है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात करें।
Step 1: समकोण त्रिभुज:
– आधार (परछाई/Shadow) = 15 m
– लंब (मीनार की ऊँचाई) = h
– सूर्य उन्नयन कोण = 60°
Step 2:
tan 60° = h / 15
√3 = h / 15
h = 15√3 m
✅ उत्तर: मीनार की ऊँचाई = 15√3 मीटर ≈ 25.98 मीटर
Example 3: दो उन्नयन कोणों से ऊँचाई और दूरी (दो-अवलोकन विधि)
एक मीनार के दोनों ओर दो बिंदु A और B हैं। बिंदु A से उन्नयन कोण 45° और बिंदु B से 30° है। यदि A और B के बीच की दूरी 100 मीटर है, तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात करें।
Step 1: मान लें मीनार के पाद से A की दूरी = x मीटर
– तो B की दूरी = (100 − x) मीटर (दोनों विपरीत दिशाओं में)
Step 2: बिंदु A से:
tan 45° = h / x
1 = h / x
h = x ...(i)
Step 3: बिंदु B से:
tan 30° = h / (100 − x)
1/√3 = h / (100 − x)
h = (100 − x) / √3 ...(ii)
Step 4: (i) और (ii) बराबर रखें:
x = (100 − x) / √3
√3x = 100 − x
√3x + x = 100
x(√3 + 1) = 100
x = 100 / (√3 + 1)
Step 5: परिमेयकरण:
x = 100(√3 − 1) / (3 − 1)
x = 100(√3 − 1) / 2
x = 50(√3 − 1) m
चूँकि h = x:
h = 50(√3 − 1) m
h ≈ 50(1.732 − 1) = 50 × 0.732 = 36.6 m
✅ उत्तर: मीनार की ऊँचाई = 50(√3 − 1) मीटर ≈ 36.6 मीटर
Example 4: अवनमन कोण (Angle of Depression)
एक मीनार के शीर्ष से, मीनार के पाद से 20 मीटर दूर एक गेंद का अवनमन कोण 45° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात करें।
Step 1: अवनमन कोण = उन्नयन कोण के बराबर (एकान्तर कोण / alternate interior angles)
– इसलिए उन्नयन कोण भी 45° ही होगा
Step 2:
tan 45° = h / 20
1 = h / 20
h = 20 m
✅ उत्तर: मीनार की ऊँचाई = 20 मीटर
Example 5: नदी की चौड़ाई ज्ञात करना
एक नदी के एक तट पर खड़ा व्यक्ति, दूसरे तट पर सीधे सामने एक पेड़ देखता है। वह 30 मीटर अपने तट पर (नदी के समानांतर) चलता है, तो अब पेड़ का उन्नयन कोण 30° हो जाता है। नदी की चौड़ाई ज्ञात करें।
Step 1: मान लें नदी की चौड़ाई = w मीटर
– प्रारंभिक बिंदु A — पेड़ सीधे सामने
– 30 मीटर चलने के बाद बिंदु B — क्षैतिज दूरी = w, ऊर्ध्वाधर = 30 मी
Step 2: बिंदु B पर समकोण त्रिभुज:
– समकोण बनेगा जहाँ tan 30° = w / 30
tan 30° = w / 30
1/√3 = w / 30
w = 30 / √3
w = 30√3 / 3 = 10√3 m
✅ उत्तर: नदी की चौड़ाई = 10√3 मीटर ≈ 17.32 मीटर
✏️ Practice Questions (5)
Q1. एक पतंग जमीन से 60 मीटर ऊपर उड़ रही है। पतंग की डोरी का उन्नयन कोण 60° है। डोरी की लंबाई ज्ञात करें (डोरी तनी हुई और सीधी है)।
👉 उत्तर देखें
**समकोण त्रिभुज:** लंब = 60 m, कोण = 60°, कर्ण = डोरी की लंबाई
sin 60° = लंब / कर्ण
√3/2 = 60 / l
l = 60 × 2 / √3 = 120 / √3
l = 120√3 / 3 = 40√3 m
**✅ डोरी की लंबाई = 40√3 मीटर ≈ 69.28 मीटर**
Q2. एक 20 मीटर ऊँची मीनार के शीर्ष से, एक इमारत के शीर्ष का उन्नयन कोण 30° और पाद का अवनमन कोण 45° है। इमारत की ऊँचाई ज्ञात करें।
👉 उत्तर देखें
**Step 1:** मीनार और इमारत के बीच क्षैतिज दूरी = d
मीनार से इमारत के पाद तक:
tan 45° = 20 / d
1 = 20 / d ⇒ d = 20 m
**Step 2:** मीनार से इमारत के शीर्ष तक:
tan 30° = (h − 20) / d
1/√3 = (h − 20) / 20
h − 20 = 20 / √3
h = 20 + 20/√3 = 20 + 20√3/3
h = (60 + 20√3) / 3 = 20(3 + √3)/3 m
**✅ इमारत की ऊँचाई = 20(3 + √3)/3 मीटर ≈ 31.55 मीटर**
Q3. एक सीढ़ी दीवार के सहारे रखी है। सीढ़ी का निचला सिरा दीवार से 2.5 मीटर दूर है और सीढ़ी द्वारा दीवार पर बनाया गया कोण 60° है। सीढ़ी की ऊँचाई (दीवार पर) ज्ञात करें।
👉 उत्तर देखें
**समकोण त्रिभुज:** आधार = 2.5 m, कोण = 60° (दीवार के साथ)
यहाँ कोण दीवार (ऊर्ध्वाधर) से मापा गया है — अतः:
tan 60° = आधार / ऊँचाई
√3 = 2.5 / h
h = 2.5 / √3 = 2.5√3 / 3 m
**✅ सीढ़ी दीवार पर = 2.5√3/3 मीटर ≈ 1.44 मीटर ऊपर तक पहुँचेगी**
Q4. दो खंभे 7 मीटर और 12 मीटर ऊँचे हैं। यदि उनके शीर्षों के बीच की दूरी 13 मीटर है, तो उनके बीच क्षैतिज दूरी ज्ञात करें।
👉 उत्तर देखें
**Step 1:** ऊँचाई का अंतर = 12 − 7 = 5 m
दोनों शीर्षों को मिलाने वाली रेखा = 13 m (कर्ण)
पाइथागोरस प्रमेय से:
(क्षैतिज दूरी)² + 5² = 13²
(क्षैतिज दूरी)² + 25 = 169
(क्षैतिज दूरी)² = 144
क्षैतिज दूरी = 12 m
**✅ खंभों के बीच क्षैतिज दूरी = 12 मीटर**
Q5. एक 75 मीटर ऊँची मीनार के शीर्ष से, एक कार का अवनमन कोण 45° है। कार मीनार से कितनी दूर है?
👉 उत्तर देखें
**अवनमन कोण = उन्नयन कोण (एकान्तर कोण)**
tan 45° = 75 / d
1 = 75 / d
d = 75 m
**✅ कार मीनार से 75 मीटर दूर है**
📅 Generated: 30 June 2026 | 📚 MP Board Class 10 Maths — Chapter 9: Some Applications of Trigonometry