📐 MP Board Class 10 Maths — Chapter 5: समांतर श्रेढ़ियाँ (Arithmetic Progressions)

📌 Key Concepts & Formulas

1. समांतर श्रेढ़ी (Arithmetic Progression — AP) क्या है?

परिभाषा: एक ऐसी अनुक्रम (sequence) जिसमें किन्हीं दो क्रमागत पदों (consecutive terms) का अंतर नियत (constant) रहता है। इस नियत अंतर को सार्व अंतर (Common Difference) कहते हैं, जिसे d से दर्शाया जाता है।

उदाहरण: 2, 5, 8, 11, 14, …
– पहला पद a₁ = 2
– दूसरा पद a₂ = 5
– सार्व अंतर d = 5 − 2 = 3

2. AP का वाँ पद (nth Term)

• पहला पद = a (first term)
• सार्व अंतर = d (common difference)
• AP का सामान्य रूप: a, a + d, a + 2d, a + 3d, …
• वाँ पद (nth term):

aₙ = a + (n − 1)d

जहाँ:
– aₙ = nवाँ पद
– a = पहला पद
– d = सार्व अंतर
– n = पदों की संख्या

3. AP के पहले n पदों का योग (Sum of First n Terms)

Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]

या

Sₙ = n/2 (a + l)

जहाँ l = अंतिम पद (last term) = a + (n − 1)d

4. AP की पहचान कैसे करें?

किन्हीं दो क्रमागत पदों के बीच का अंतर निकालें — यदि यह अंतर हर जगह समान हो, तो यह AP है।

5. AP के प्रकार

• परिमित (Finite) AP: जब पदों की संख्या सीमित हो — जैसे 2, 5, 8, 11 (केवल 4 पद)
• अपरिमित (Infinite) AP: जब पद अनंत हों — जैसे 2, 5, 8, 11, 14, …

6. यदि तीन संख्याएँ AP में हों

यदि a, b, c AP में हैं, तो:

2b = a + c या b = (a + c)/2

यहाँ b को a और c का समांतर माध्य (Arithmetic Mean) कहते हैं।

📝 Solved Examples (5)

Example 1: AP का 10वाँ पद ज्ञात करें — 2, 7, 12, …

दिया है:
– a = 2 (पहला पद)
– d = 7 − 2 = 5 (सार्व अंतर)
– n = 10

सूत्र: aₙ = a + (n − 1)d

a₁₀ = 2 + (10 − 1) × 5
a₁₀ = 2 + 9 × 5
a₁₀ = 2 + 45
a₁₀ = 47

उत्तर: 10वाँ पद = 47 ✅

Example 2: क्या संख्या −150 AP 11, 8, 5, 2, … का कोई पद है?

दिया है:
– a = 11
– d = 8 − 11 = −3

मान लें −150, nवाँ पद है।

aₙ = a + (n − 1)d
−150 = 11 + (n − 1)(−3)
−150 = 11 − 3n + 3
−150 = 14 − 3n
−3n = −150 − 14
−3n = −164
n = 164/3 = 54.66...

n पूर्णांक नहीं है — ∴ −150 इस AP का पद नहीं है। ❌

Example 3: उस AP का 30वाँ पद ज्ञात करें जिसका 10वाँ पद 29 और 15वाँ पद 44 है।

दिया है:
– a₁₀ = 29 → a + 9d = 29 … (i)
– a₁₅ = 44 → a + 14d = 44 … (ii)

समीकरण (ii) − (i):

(a + 14d) − (a + 9d) = 44 − 29
5d = 15
d = 3

d = 3 समीकरण (i) में रखें:

a + 9(3) = 29
a + 27 = 29
a = 2

अब 30वाँ पद:

a₃₀ = a + 29d
a₃₀ = 2 + 29(3)
a₃₀ = 2 + 87
a₃₀ = 89

उत्तर: 30वाँ पद = 89 ✅

Example 4: AP 21, 18, 15, … के कितने पद लेने चाहिए ताकि योग 81 हो?

दिया है:
– a = 21
– d = 18 − 21 = −3
– Sₙ = 81

सूत्र: Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]

81 = n/2 [2(21) + (n − 1)(−3)]
81 = n/2 [42 − 3n + 3]
81 = n/2 [45 − 3n]
162 = n(45 − 3n)
162 = 45n − 3n²
3n² − 45n + 162 = 0
n² − 15n + 54 = 0
(n − 6)(n − 9) = 0
n = 6 or n = 9

दोनों संभव हैं: 6 पद या 9 पद लेने पर योग 81 होगा। ✅
– 6 पद: 21 + 18 + 15 + 12 + 9 + 6 = 81
– 9 पद: 21 + 18 + 15 + 12 + 9 + 6 + 3 + 0 + (−3) = 81

उत्तर: 6 या 9 पद ✅

Example 5: एक AP का 8वाँ पद 0 है। सिद्ध करें कि इसका 38वाँ पद 18वें पद का तीन गुना है।

दिया है: a₈ = 0 → a + 7d = 0 → a = −7d

18वाँ पद:

a₁₈ = a + 17d
a₁₈ = −7d + 17d
a₁₈ = 10d

38वाँ पद:

a₃₈ = a + 37d
a₃₈ = −7d + 37d
a₃₈ = 30d

जाँच: 3 × a₁₈ = 3 × 10d = 30d = a₃₈ ✅

∴ a₃₈ = 3 × a₁₈ — सिद्ध ✅

✏️ Practice Questions (5)

Q1. AP का 20वाँ पद ज्ञात करें: −3, −1, 1, 3, …

Q2. AP: 10, 7, 4, …. का कौन-सा पद −62 है?

Q3. पहले 100 धनात्मक पूर्णांकों (positive integers) का योग ज्ञात करें।

Q4. 2 और 22 के बीच चार संख्याएँ डालें ताकि वे 2 और 22 के साथ मिलकर AP बनाएँ।

Q5. एक AP में Sₙ = 2n² + 5n है। a और d ज्ञात करें।

📅 Generated: 26 June 2026 | 📚 MP Board Class 10 Maths — Chapter 5: Arithmetic Progressions