🔺 MP Board Class 10 Maths — Chapter 6: त्रिभुज (Triangles)

📌 Key Concepts & Formulas

1. समरूप आकृतियाँ (Similar Figures)

• दो आकृतियाँ समरूप (similar) कहलाती हैं यदि उनका आकार समान हो लेकिन आमाप (size) भिन्न हो।
• समरूप त्रिभुजों के लिए: संगत भुजाएँ समानुपाती (proportional) होती हैं और संगत कोण बराबर होते हैं।

2. समरूपता के लिए मापदंड (Criteria for Similarity)

(a) AAA समरूपता (Angle-Angle-Angle) / AA कसौटी

यदि दो त्रिभुजों के दो कोण बराबर हों, तो वे समरूप होते हैं। (तीसरा कोण स्वतः बराबर हो जाता है)

यदि ∠A = ∠D और ∠B = ∠E, तो △ABC ~ △DEF

(b) SSS समरूपता (Side-Side-Side)

यदि दो त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती हों, तो वे समरूप होते हैं।

AB/DE = BC/EF = CA/FD → △ABC ~ △DEF

(c) SAS समरूपता (Side-Angle-Side)

यदि दो त्रिभुजों में एक कोण बराबर हो और उसे घेरने वाली भुजाएँ समानुपाती हों, तो वे समरूप होते हैं।

AB/DE = AC/DF और ∠A = ∠D → △ABC ~ △DEF

3. थेल्स प्रमेय (Thales Theorem) / Basic Proportionality Theorem (BPT)

कथन: यदि किसी त्रिभुज में एक भुजा के समांतर रेखा खींची जाए, तो वह अन्य दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है।

△ABC में, यदि DE ∥ BC, तो:

AD/DB = AE/EC

Converse of BPT: यदि कोई रेखा दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करे, तो वह तीसरी भुजा के समांतर होती है।

4. समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल (Areas of Similar Triangles)

दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।

यदि △ABC ~ △DEF, तो:

ar(△ABC) / ar(△DEF) = (AB/DE)² = (BC/EF)² = (CA/FD)²

5. पाइथागोरस प्रमेय (Pythagoras Theorem)

कथन: समकोण त्रिभुज में, कर्ण का वर्ग शेष दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।

△ABC में, यदि ∠B = 90°, तो:

AC² = AB² + BC²

Converse of Pythagoras: यदि किसी त्रिभुज में एक भुजा का वर्ग शेष दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर हो, तो वह त्रिभुज समकोण त्रिभुज होता है।

6. महत्वपूर्ण सूत्र (सारांश)

📝 Solved Examples (5)

Example 1: BPT प्रमेय लागू करना

△ABC में, DE ∥ BC है। AD = 3 सेमी, DB = 5 सेमी, AE = 6 सेमी है। EC ज्ञात करें।

हल:

BPT से: AD/DB = AE/EC
3/5 = 6/EC
3 × EC = 5 × 6
EC = 30/3
EC = 10 सेमी ✅

Example 2: समरूप त्रिभुजों की पहचान — SSS कसौटी

जाँच करें कि क्या △ABC और △DEF समरूप हैं:
AB = 6 सेमी, BC = 9 सेमी, CA = 12 सेमी
DE = 2 सेमी, EF = 3 सेमी, FD = 4 सेमी

हल:

AB/DE = 6/2 = 3
BC/EF = 9/3 = 3
CA/FD = 12/4 = 3

सभी अनुपात बराबर हैं (3:1)।
∴ SSS कसौटी से, △ABC ~ △DEF ✅

Example 3: समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल

△ABC ~ △DEF है। AB = 10 सेमी, DE = 5 सेमी, और ar(△ABC) = 80 वर्ग सेमी है। ar(△DEF) ज्ञात करें।

हल:

समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात:
ar(△ABC) / ar(△DEF) = (AB/DE)²
80 / ar(△DEF) = (10/5)²
80 / ar(△DEF) = 4
ar(△DEF) = 80/4 = 20 वर्ग सेमी ✅

Example 4: पाइथागोरस प्रमेय

एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण = 13 सेमी और एक भुजा = 5 सेमी है। दूसरी भुजा ज्ञात करें।

हल:

माना ∆ABC है जिसमें ∠B = 90° और कर्ण AC = 13 सेमी, AB = 5 सेमी

पाइथागोरस प्रमेय से:
AC² = AB² + BC²
13² = 5² + BC²
169 = 25 + BC²
BC² = 144
BC = √144 = 12 सेमी ✅

Example 5: पाइथागोरस प्रमेय का विलोम (Converse)

जाँच करें कि क्या 6 सेमी, 8 सेमी, 10 सेमी भुजाओं वाला त्रिभुज समकोण त्रिभुज है।

हल:

सबसे बड़ी भुजा = 10 सेमी (यह कर्ण होगा)

जाँच: (कर्ण)² = 10² = 100
अन्य दो भुजाओं के वर्गों का योग = 6² + 8² = 36 + 64 = 100

चूँकि 10² = 6² + 8², ∴ यह एक समकोण त्रिभुज है।
Converse of Pythagoras Theorem से सत्यापित ✅

✏️ Practice Questions (5)

Q1. △ABC में, DE ∥ BC है। AD = 2.4 सेमी, DB = 3.6 सेमी, EC = 4.5 सेमी है। AE ज्ञात करें।

Q2. जाँच करें कि △ABC ~ △DEF है या नहीं:

AB = 8 सेमी, BC = 16 सेमी, CA = 20 सेमी
DE = 4 सेमी, EF = 8 सेमी, FD = 10 सेमी

Q3. △ABC ~ △PQR है। AB = 6 सेमी, PQ = 9 सेमी, और ar(△ABC) = 36 वर्ग सेमी है। ar(△PQR) ज्ञात करें।

Q4. एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण 17 सेमी और एक भुजा 15 सेमी है। दूसरी भुजा की लंबाई ज्ञात करें।

Q5. क्या 7 सेमी, 24 सेमी, 25 सेमी भुजाओं वाला त्रिभुज समकोण त्रिभुज है? कारण सहित बताएँ।

📅 Generated: 27 June 2026 | 📚 MP Board Class 10 Maths — Chapter 6: Triangles (त्रिभुज)