MP Board Class 10 Maths Chapter 8: Introduction to Trigon…
📐 MP Board Class 10 Maths — Chapter 8: त्रिकोणमिति का परिचय (Introduction to Trigonometry)
📌 Key Concepts & Formulas
1. त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratios)
समकोण त्रिभुज (Right Triangle) ABC में, जहाँ ∠B = 90°:
A
|\
| \
| \
BC| \ AC (कर्ण / Hypotenuse)
| \
| \
B------C
AB (आधार / Base)
- ∠A के सापेक्ष:
- कर्ण (Hypotenuse) = सबसे लंबी भुजा — ∠A के सामने नहीं
- लंब (Perpendicular / Opposite) = ∠A के सामने वाली भुजा = BC
- आधार (Base / Adjacent) = ∠A से सटी भुजा = AB
| नाम (Ratio) | सूत्र (Formula) | Shortcut |
|---|---|---|
| sin A | लंब / कर्ण = BC / AC | |
| cos A | आधार / कर्ण = AB / AC | |
| tan A | लंब / आधार = BC / AB | sin A / cos A |
| cosec A | कर्ण / लंब = AC / BC | 1 / sin A |
| sec A | कर्ण / आधार = AC / AB | 1 / cos A |
| cot A | आधार / लंब = AB / BC | 1 / tan A |
याद रखने की ट्रिक — “Pandit Badri Prasad”
– P → Perpendicular (लंब)
– B → Base (आधार)
– H → Hypotenuse (कर्ण)Sin = P/H, Cos = B/H, Tan = P/B
और उल्टा: Cosec = H/P, Sec = H/B, Cot = B/P
2. पूरक कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trig Ratios of Complementary Angles)
sin(90° – θ) = cos θ
cos(90° – θ) = sin θ
tan(90° – θ) = cot θ
cot(90° – θ) = tan θ
sec(90° – θ) = cosec θ
cosec(90° – θ) = sec θ
3. विशिष्ट कोणों के मान (Trigonometric Ratios of Standard Angles)
| Angle → | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| sin | 0 | 1/2 | 1/√2 | √3/2 | 1 |
| cos | 1 | √3/2 | 1/√2 | 1/2 | 0 |
| tan | 0 | 1/√3 | 1 | √3 | ∞ (अपरिभाषित) |
| cosec | ∞ | 2 | √2 | 2/√3 | 1 |
| sec | 1 | 2/√3 | √2 | 2 | ∞ |
| cot | ∞ | √3 | 1 | 1/√3 | 0 |
याद रखने की ट्रिक — 0, 1/2, 1/√2, √3/2, 1
sin θ के लिए: √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2
cos θ उल्टा क्रम (reverse order of sin)
4. त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ (Trigonometric Identities)
- sin² θ + cos² θ = 1
- 1 + tan² θ = sec² θ
- 1 + cot² θ = cosec² θ
इनसे प्राप्त:
– sin² θ = 1 − cos² θ
– cos² θ = 1 − sin² θ
– tan² θ = sec² θ − 1
– sec² θ − tan² θ = 1
– cot² θ = cosec² θ − 1
📝 Solved Examples (5)
Example 1: त्रिकोणमितीय अनुपात ज्ञात करना
समकोण त्रिभुज ABC में, ∠B = 90°, AB = 24 cm, BC = 7 cm. sin A, cos A और sin C, cos C ज्ञात करें।
Step 1: पहले कर्ण (AC) निकालें — पाइथागोरस प्रमेय से:
AC² = AB² + BC²
AC² = 24² + 7² = 576 + 49 = 625
AC = √625 = 25 cm
Step 2: ∠A के लिए:
sin A = लंब (BC) / कर्ण (AC) = 7/25
cos A = आधार (AB) / कर्ण (AC) = 24/25
Step 3: ∠C के लिए (अब BC आधार है, AB लंब):
sin C = AB / AC = 24/25
cos C = BC / AC = 7/25
✅ उत्तर: sin A = 7/25, cos A = 24/25, sin C = 24/25, cos C = 7/25
Example 2: tan θ का मान ज्ञात करना
यदि sin θ = 3/5 है, तो cos θ और tan θ ज्ञात करें।
Step 1: Identity का उपयोग — sin² θ + cos² θ = 1
cos² θ = 1 − sin² θ
cos² θ = 1 − (3/5)² = 1 − 9/25 = 16/25
cos θ = √(16/25) = 4/5 (θ न्यूनकोण है, ∴ cos θ धनात्मक)
Step 2: tan θ = sin θ / cos θ
tan θ = (3/5) / (4/5) = 3/4
✅ उत्तर: cos θ = 4/5, tan θ = 3/4
Example 3: मान ज्ञात करें — 30° और 60° का प्रयोग
जाँच करें: sin 60° × cos 30° + sin 30° × cos 60° = ?
Step 1: सारणी से मान रखें:
sin 60° = √3/2, cos 30° = √3/2
sin 30° = 1/2, cos 60° = 1/2
Step 2: गणना करें:
= (√3/2)(√3/2) + (1/2)(1/2)
= 3/4 + 1/4
= 4/4 = 1
✅ उत्तर: 1
Example 4: सर्वसमिका सिद्ध करना
सिद्ध करें: tan² θ − sin² θ = tan² θ × sin² θ
Step 1: LHS से शुरू करें:
LHS = tan² θ − sin² θ
Step 2: tan θ = sin θ / cos θ रखें:
LHS = sin² θ / cos² θ − sin² θ
= sin² θ [1/cos² θ − 1]
= sin² θ [sec² θ − 1]
Step 3: Identity 1 + tan² θ = sec² θ से, sec² θ − 1 = tan² θ:
LHS = sin² θ × tan² θ
= RHS ✅
✅ सिद्ध हुआ: tan² θ − sin² θ = tan² θ × sin² θ
Example 5: पूरक कोणों का उपयोग
यदि tan 2A = cot(A − 18°), जहाँ 2A एक न्यूनकोण है, तो A का मान ज्ञात करें।
Step 1: tan 2A = cot(A − 18°) दिया है।
चूँकि cot θ = tan(90° − θ):
tan 2A = tan[90° − (A − 18°)]
tan 2A = tan[90° − A + 18°]
tan 2A = tan[108° − A]
Step 2: दोनों तरफ tan बराबर हैं:
2A = 108° − A
3A = 108°
A = 108° / 3 = 36°
✅ उत्तर: A = 36°
✏️ Practice Questions (5)
Q1. यदि cot θ = 7/8 है, तो (1 + sin θ)(1 − sin θ) / (1 + cos θ)(1 − cos θ) का मान ज्ञात करें।
👉 उत्तर देखें
**(1 + sin θ)(1 − sin θ) = 1 − sin² θ = cos² θ**
**(1 + cos θ)(1 − cos θ) = 1 − cos² θ = sin² θ**
**व्यंजक = cos² θ / sin² θ = cot² θ = (7/8)² = 49/64** ✅
Q2. मान ज्ञात करें: cos 45° / (sec 30° + cosec 30°)
👉 उत्तर देखें
**cos 45° = 1/√2, sec 30° = 2/√3, cosec 30° = 2**
**= (1/√2) / (2/√3 + 2)**
**= (1/√2) / [2(1/√3 + 1)]**
**= (1/√2) / [2(1 + √3)/√3]**
**= (1/√2) × [√3 / 2(1 + √3)]**
**= √3 / [2√2(1 + √3)]**
**परिमेयकरण (Rationalise) करें:**
**= √3(√3 − 1) / [2√2(3 − 1)]**
**= √3(√3 − 1) / 4√2**
**= (3 − √3) / 4√2**
**= (3√2 − √6) / 8** ✅
Q3. सिद्ध करें: (sin θ + cosec θ)² + (cos θ + sec θ)² = 7 + tan² θ + cot² θ
👉 उत्तर देखें
**LHS = sin² θ + 2 sin θ × cosec θ + cosec² θ + cos² θ + 2 cos θ × sec θ + sec² θ**
**sin θ × cosec θ = 1, cos θ × sec θ = 1**
**LHS = (sin² θ + cos² θ) + 2 + cosec² θ + 2 + sec² θ**
**= 1 + 2 + 2 + (1 + cot² θ) + (1 + tan² θ)**
**[∵ cosec² θ = 1 + cot² θ, sec² θ = 1 + tan² θ]**
**LHS = 5 + 1 + cot² θ + 1 + tan² θ**
**= 7 + tan² θ + cot² θ = RHS** ✅
Q4. यदि sin(A + B) = 1 और sin(A − B) = 1/2, जहाँ 0° ≤ A + B ≤ 90° और A ≥ B, तो A और B ज्ञात करें।
👉 उत्तर देखें
**sin(A + B) = 1 ⇒ A + B = 90°**
**sin(A − B) = 1/2 ⇒ A − B = 30°**
**जोड़ने पर: 2A = 120° ⇒ A = 60°**
**B = 90° − 60° = 30°**
**✅ A = 60°, B = 30°**
Q5. मान ज्ञात करें: 9 sec² A − 9 tan² A
👉 उत्तर देखें
**9 sec² A − 9 tan² A = 9(sec² A − tan² A)**
**Identity: 1 + tan² A = sec² A ⇒ sec² A − tan² A = 1**
**= 9 × 1 = 9** ✅
📅 Generated: 29 June 2026 | 📚 MP Board Class 10 Maths — Chapter 8: Introduction to Trigonometry