🎲 MP Board Class 10 Maths — Chapter 14: प्रायिकता (Probability)

📌 Key Concepts & Formulas

1. प्रायिकता क्या है? (What is Probability?)

प्रायिकता किसी घटना (event) के घटित होने की संभावना का माप है।

• प्रायिकता का मान हमेशा 0 और 1 के बीच होता है।
• 0 = असंभव घटना (Impossible event)
• 1 = निश्चित घटना (Sure / Certain event)

2. प्रायिकता का मूल सूत्र (Basic Formula)

P(E) = (अनुकूल परिणामों की संख्या) / (कुल संभव परिणामों की संख्या)

जहाँ:
– P(E) = घटना E की प्रायिकता
– अनुकूल परिणाम (Favorable outcomes) = वे परिणाम जो हम चाहते हैं
– कुल संभव परिणाम (Total possible outcomes) = सभी संभावित परिणाम

⚠️ नोट: 0 ≤ P(E) ≤ 1 हमेशा

3. प्रायिकता के गुण (Properties)

पूरक घटना (Complementary Event): यदि E कोई घटना है, तो ‘E नहीं’ को Ē (E-bar) या not E लिखते हैं।

4. महत्वपूर्ण उदाहरण

5. सिक्का (Coin) — संभावित परिणाम

Formula: n सिक्कों के लिए कुल परिणाम = 2ⁿ

6. पासा (Die) — संभावित परिणाम

Formula: n पासों के लिए कुल परिणाम = 6ⁿ

7. ताश की गड्डी (Deck of Cards) — तथ्य

एक मानक 52 पत्तों की गड्डी में:
– 4 suits (रंग): ♠️ हुकुम (Spades), ♥️ पान (Hearts), ♦️ चिड़ी (Diamonds), ♣️ पत्ती (Clubs)
– प्रत्येक suit में 13 पत्ते: A, 2, 3, …, 10, J, Q, K
– लाल पत्ते: ♥️ पान + ♦️ चिड़ी = 26
– काले पत्ते: ♠️ हुकुम + ♣️ पत्ती = 26
– Face cards (बादशाह): J, Q, K (प्रत्येक suit में 3) = कुल 12
– इक्के (Aces): 4

📝 Solved Examples (5)

Example 1: एक सिक्का उछालना

एक सिक्के को एक बार उछाला जाता है। चित (Head) आने की प्रायिकता क्या है?

हल:
– कुल संभव परिणाम = {H, T} = 2
– अनुकूल परिणाम (Head) = {H} = 1
– P(Head) = 1/2 ✅

तथा पट (Tail) आने की प्रायिकता:
– P(Tail) = 1/2
– जाँच: P(H) + P(T) = 1/2 + 1/2 = 1 ✅

Example 2: एक पासा फेंकना

एक पासे को एक बार फेंका जाता है। सम संख्या आने की प्रायिकता ज्ञात करें।

हल:
– कुल संभव परिणाम = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = 6
– अनुकूल परिणाम (सम संख्याएँ) = {2, 4, 6} = 3
– P(सम संख्या) = 3/6 = 1/2 ✅

पूरक प्रश्न: विषम संख्या आने की प्रायिकता?
– P(विषम) = 1 − P(सम) = 1 − 1/2 = 1/2 ✅

Example 3: दो सिक्के उछालना

दो सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है। कम से कम एक चित (at least one Head) आने की प्रायिकता ज्ञात करें।

हल:
– कुल संभव परिणाम = {HH, HT, TH, TT} = 4
– अनुकूल परिणाम (कम से कम एक H) = {HH, HT, TH} = 3
– P(कम से कम एक Head) = 3/4 ✅

Alternate method — पूरक घटना:
– P(कोई Head नहीं) = P(TT) = 1/4
– P(कम से कम एक Head) = 1 − 1/4 = 3/4 ✅

Example 4: ताश की गड्डी

एक अच्छी तरह से फेंटी गई ताश की गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। निम्न की प्रायिकता ज्ञात करें:
(i) इक्का (Ace)
(ii) लाल रंग का बादशाह (Red King)
(iii) Face card

हल (i) — इक्का:
– कुल पत्ते = 52
– इक्कों की संख्या = 4
– P(Ace) = 4/52 = 1/13 ✅

हल (ii) — लाल बादशाह:
– लाल बादशाह = ♥️K + ♦️K = 2
– P(Red King) = 2/52 = 1/26 ✅

हल (iii) — Face card:
– Face cards = J, Q, K (प्रति suit 3) = 3 × 4 = 12
– P(Face card) = 12/52 = 3/13 ✅

Example 5: गेंदें निकालना

एक थैले में 3 लाल, 5 नीली और 2 हरी गेंदें हैं। यादृच्छया (randomly) एक गेंद निकाली जाती है। निम्न की प्रायिकता ज्ञात करें:
(i) लाल गेंद
(ii) नीली या हरी गेंद
(iii) न तो लाल और न ही नीली गेंद

हल (i) — लाल गेंद:
– कुल गेंदें = 3 + 5 + 2 = 10
– लाल गेंदें = 3
– P(लाल) = 3/10 ✅

हल (ii) — नीली या हरी:
– नीली + हरी = 5 + 2 = 7
– P(नीली या हरी) = 7/10 ✅

हल (iii) — न तो लाल और न ही नीली:
– इसका मतलब = हरी गेंद
– हरी गेंदें = 2
– P(हरी) = 2/10 = 1/5 ✅

जाँच: P(लाल) + P(नीली) + P(हरी) = 3/10 + 5/10 + 2/10 = 10/10 = 1 ✅

✏️ Practice Questions (5)

Q1. एक पासे को एक बार फेंका जाता है। 4 से बड़ी संख्या आने की प्रायिकता ज्ञात करें।

Q2. दो पासों को एक साथ फेंका जाता है। योग 7 आने की प्रायिकता ज्ञात करें।

Q3. एक थैले में 4 सफेद, 6 काली और 8 लाल गेंदें हैं। एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। इसके काली न होने की प्रायिकता ज्ञात करें।

Q4. 52 पत्तों की गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। (i) इक्का न होने की (ii) लाल रंग का face card होने की प्रायिकता ज्ञात करें।

Q5. तीन सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है। ठीक दो चित (exactly two Heads) आने की प्रायिकता ज्ञात करें।

📅 Published: 10 July 2026 | 📚 MP Board Class 10 Maths Chapter 14 — Probability