MP Board Class 10 Maths Chapter 12: Surface Areas and Vol…
🧊 MP Board Class 10 Maths — Chapter 12: पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन (Surface Areas and Volumes)
📌 Key Concepts & Formulas
1. ठोस आकृतियाँ (Solid Figures) — Recap
| आकृति (Shape) | पार्श्व/वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (Lateral/CSA) | कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) | आयतन (Volume) |
|---|---|---|---|
| घनाभ (Cuboid) | 2h(l + b) | 2(lb + bh + hl) | l × b × h |
| घन (Cube) | 4a² | 6a² | a³ |
| बेलन (Cylinder) | 2πrh | 2πr(r + h) | πr²h |
| शंकु (Cone) | πrl | πr(l + r) | (1/3)πr²h |
| गोला (Sphere) | — | 4πr² | (4/3)πr³ |
| अर्धगोला (Hemisphere) | 2πr² | 3πr² | (2/3)πr³ |
महत्वपूर्ण: l = तिर्यक ऊँचाई (slant height) = √(r² + h²)
2. संयुक्त ठोस (Combination of Solids)
जब दो या दो से अधिक ठोस आकृतियाँ जुड़ी हों:
– TSA निकालते समय — केवल दृश्य पृष्ठों (visible surfaces) का क्षेत्रफल लें
– जुड़ने वाली सतहें (joining surfaces) शामिल न करें
– Volume — सभी भागों के आयतन जोड़ें
सामान्य संयोजन:
– शंकु + बेलन (Cone on Cylinder) — जैसे ice-cream cone का ऊपरी भाग
– अर्धगोला + बेलन (Hemisphere on Cylinder) — जैसे टैंक
– शंकु + अर्धगोला (Cone on Hemisphere) — जैसे एक खिलौना (toy)
– घन + अर्धगोलाकार सिरा (Cube + Hemisphere on top)
3. ठोस का आयतन (Volume of Combined Solid)
किसी भी संयुक्त ठोस का कुल आयतन = उसके सभी भागों के आयतन का योग
उदाहरण: एक खिलौना शंकु के ऊपर अर्धगोला हो तो:
कुल आयतन = (2/3)πr³ + (1/3)πr²h
4. पिघलाकर नया ठोस बनाना (Conversion of Solids)
जब कोई ठोस पिघलाकर दूसरे आकार में ढाला जाता है:
मूल ठोस का आयतन = नए ठोस का आयतन
Volume remains constant during recasting/melting.
सूत्र: पुराने ठोस का आयतन = नए ठोस का आयतन
– इससे नए ठोस की कोई अज्ञात विमा (dimension) ज्ञात करें
5. एक ठोस से दूसरे में ढालना (Recasting)
जब धातु के किसी ठोस (गोला/बेलन/शंकु) को पिघलाकर दूसरे आकार का ठोस बनाया जाता है, तो आयतन समान रहता है।
व्यावहारिक सुझाव:
– गोले को बेलन में: n गोले → 1 बेलन, तो n × (गोले का आयतन) = बेलन का आयतन
– बेलन को शंकु में: बेलन का आयतन = शंकु का आयतन
– घन को गोले में: घन का आयतन = गोले का आयतन
6. महत्वपूर्ण तथ्य (Important Points)
| स्थिति | नियम |
|---|---|
| संयुक्त ठोस का आयतन | सभी भागों के आयतनों का योग |
| संयुक्त ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल | केवल बाहरी सतहों का क्षेत्रफल |
| पिघलाकर बनाने पर | Volume same, shape changes |
| काट-छाँट (cutting) | Volume is subtracted |
📝 Solved Examples (5)
Example 1: शंकु + बेलन का संयुक्त ठोस — TSA ज्ञात करें
एक खिलौना एक बेलन के ऊपर एक शंकु लगाकर बनाया गया है। बेलन की त्रिज्या 3 cm और ऊँचाई 5 cm है। शंकु की ऊँचाई 4 cm है। खिलौने का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें। (π = 3.14)
हल:
दिया है:
बेलन: r = 3 cm, h_cylinder = 5 cm
शंकु: r = 3 cm, h_cone = 4 cm
शंकु की तिर्यक ऊँचाई l = √(r² + h_cone²) = √(9 + 16) = √25 = 5 cm
खिलौने का TSA = बेलन का CSA + शंकु का CSA + बेलन के आधार का क्षेत्रफल?
ध्यान दें: यहाँ शंकु बेलन के ऊपर लगा है — बेलन का ऊपरी वृत्ताकार आधार ढक जाता है।
बेलन का CSA = 2πrh = 2 × 3.14 × 3 × 5 = 94.2 cm²
शंकु का CSA = πrl = 3.14 × 3 × 5 = 47.1 cm²
बेलन का निचला आधार = πr² = 3.14 × 9 = 28.26 cm²
कुल TSA = 94.2 + 47.1 + 28.26 = 169.56 cm² ✅
उत्तर: खिलौने का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 169.56 cm²
Example 2: अर्धगोला + बेलन — टैंक
एक बंद टैंक एक बेलन पर एक अर्धगोला लगाकर बनाया गया है। बेलन की त्रिज्या 7 m और ऊँचाई 10 m है। टैंक की क्षमता (capacity) ज्ञात करें। (π = 22/7)
हल:
दिया है: r = 7 m, h = 10 m
बेलन का आयतन = πr²h = (22/7) × 7 × 7 × 10 = 22 × 7 × 10 = 1540 m³
अर्धगोले का आयतन = (2/3)πr³ = (2/3) × (22/7) × 7 × 7 × 7
= (2/3) × 22 × 7 × 7
= (2/3) × 1078
= 718.67 m³
टैंक की कुल क्षमता = 1540 + 718.67 = 2258.67 m³ ✅
उत्तर: टैंक की क्षमता ≈ 2258.67 m³ (या 2258.67 किलोलीटर)
Example 3: गोले को पिघलाकर बेलन बनाना (Recasting)
21 cm त्रिज्या वाले एक धातु के गोले को पिघलाकर 7 cm त्रिज्या वाला एक बेलन बनाया जाता है। बेलन की ऊँचाई ज्ञात करें। (π = 22/7)
हल:
गोले की त्रिज्या R = 21 cm
बेलन की त्रिज्या r = 7 cm
माना बेलन की ऊँचाई = h
गोले का आयतन = (4/3)πR³ = (4/3) × (22/7) × 21 × 21 × 21
= (4/3) × (22/7) × 9261
= (4/3) × 22 × 1323
= (4/3) × 29106
= 38808 cm³
बेलन का आयतन = πr²h = (22/7) × 7 × 7 × h = 22 × 7 × h = 154h cm³
पिघलाने पर आयतन समान रहता है:
गोले का आयतन = बेलन का आयतन
38808 = 154h
h = 38808/154 = 252 cm ✅
उत्तर: बेलन की ऊँचाई = 252 cm (यानी 2.52 m)
Example 4: घन से अर्धगोला निकालना (Subtraction)
7 cm भुजा वाले एक लकड़ी के घन में से अधिकतम संभावित अर्धगोला काटकर निकाला जाता है। शेष लकड़ी का आयतन ज्ञात करें। (π = 22/7)
हल:
घन की भुजा a = 7 cm
अधिकतम अर्धगोले की त्रिज्या r = 7/2 = 3.5 cm (क्योंकि घन के एक फलक पर फिट होना चाहिए)
घन का आयतन = a³ = 7 × 7 × 7 = 343 cm³
अर्धगोले का आयतन = (2/3)πr³ = (2/3) × (22/7) × 3.5 × 3.5 × 3.5
= (2/3) × (22/7) × 42.875
= (2/3) × 22 × 6.125
= (2/3) × 134.75
= 89.83 cm³
शेष लकड़ी का आयतन = 343 - 89.83 = 253.17 cm³ ✅
उत्तर: शेष लकड़ी का आयतन ≈ 253.17 cm³
Example 5: संयुक्त ठोस — शंकु पर अर्धगोला
एक ठोस खिलौना एक अर्धगोले पर एक शंकु लगाकर बनाया गया है। दोनों की त्रिज्या 5 cm है। शंकु की ऊँचाई 12 cm है। खिलौने का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें। (π = 3.14)
हल:
दिया है: r = 5 cm, h_cone = 12 cm
शंकु की तिर्यक ऊँचाई l = √(r² + h²) = √(25 + 144) = √169 = 13 cm
अर्धगोले का CSA = 2πr² = 2 × 3.14 × 25 = 157 cm²
शंकु का CSA = πrl = 3.14 × 5 × 13 = 204.1 cm²
खिलौने का कुल TSA = अर्धगोले का CSA + शंकु का CSA
= 157 + 204.1
= 361.1 cm² ✅
ध्यान दें: यहाँ अर्धगोले का वृत्ताकार आधार और शंकु का वृत्ताकार आधार दोनों आपस में जुड़े हैं — इसलिए इन्हें TSA में नहीं जोड़ा जाता।
उत्तर: खिलौने का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 361.1 cm²
✏️ Practice Questions (5)
Q1. एक बेलन के ऊपर समान त्रिज्या का एक शंकु रखा है। बेलन की ऊँचाई 6 cm, शंकु की ऊँचाई 8 cm और त्रिज्या 3 cm है। संयुक्त ठोस का आयतन ज्ञात करें। (π = 3.14)
👉 उत्तर देखें
बेलन का आयतन = πr²h = 3.14 × 9 × 6 = **169.56 cm³**
शंकु का आयतन = (1/3)πr²h = (1/3) × 3.14 × 9 × 8 = (1/3) × 226.08 = **75.36 cm³**
कुल आयतन = 169.56 + 75.36 = **244.92 cm³**
Q2. 6 cm त्रिज्या वाले एक धातु के गोले को पिघलाकर 2 cm त्रिज्या वाले कितने छोटे गोले बनाए जा सकते हैं?
👉 उत्तर देखें
बड़े गोले का आयतन = (4/3)π(6)³ = (4/3)π × 216
एक छोटे गोले का आयतन = (4/3)π(2)³ = (4/3)π × 8
गोलों की संख्या = बड़े का आयतन / छोटे का आयतन = 216/8 = **27 गोले**
Q3. एक घनाभ जिसकी विमाएँ 24 cm × 12 cm × 6 cm हैं, को पिघलाकर 6 cm त्रिज्या वाला एक बेलन बनाया जाता है। बेलन की ऊँचाई ज्ञात करें। (π = 22/7)
👉 उत्तर देखें
घनाभ का आयतन = 24 × 12 × 6 = **1728 cm³**
बेलन का आयतन = πr²h = (22/7) × 36 × h = (792/7) × h
1728 = (792/7)h
h = 1728 × 7 / 792 = 12096 / 792 = **15.27 cm** (लगभग)
Q4. 10 cm त्रिज्या वाले एक अर्धगोले पर उसी त्रिज्या का एक शंकु लगा है। यदि शंकु की तिर्यक ऊँचाई 26 cm हो, तो संयुक्त ठोस का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें। (π = 3.14)
संकेत: पहले शंकु की ऊँचाई ज्ञात करें: h = √(l² – r²)
👉 उत्तर देखें
शंकु की ऊँचाई h_cone = √(l² – r²) = √(676 – 100) = √576 = **24 cm**
अर्धगोले का CSA = 2πr² = 2 × 3.14 × 100 = **628 cm²**
शंकु का CSA = πrl = 3.14 × 10 × 26 = **816.4 cm²**
कुल TSA = 628 + 816.4 = **1444.4 cm²**
Q5. एक बेलन के आकार का लंबा तार 0.5 cm त्रिज्या का है। इसे पिघलाकर 1.5 cm त्रिज्या और 2 cm ऊँचाई वाले कितने बेलनाकार टुकड़े बनाए जा सकते हैं? मान लें कि लंबे तार की लंबाई 18 m (1800 cm) है।
👉 उत्तर देखें
लंबे तार (बेलन) का आयतन = πr²h = π × 0.25 × 1800 = **450π cm³**
एक छोटे टुकड़े का आयतन = π × (1.5)² × 2 = π × 2.25 × 2 = **4.5π cm³**
टुकड़ों की संख्या = 450π / 4.5π = **100 टुकड़े**
📅 Generated: 06 July 2026 | 📚 MP Board Class 10 Maths — Chapter 12: Surface Areas and Volumes