MP Board Class 10 Maths Ch 10 Circles — Notes & Formulas
⭕ MP Board Class 10 Maths — Chapter 10: वृत्त (Circles)
📌 Key Concepts & Formulas
1. वृत्त की परिभाषा (Definition of a Circle)
वृत्त एक निश्चित बिंदु (केंद्र) से समान दूरी पर स्थित सभी बिंदुओं का समूह है।
- केंद्र (Centre) = O — वृत्त का निश्चित बिंदु
- त्रिज्या (Radius) = r — केंद्र से वृत्त पर किसी बिंदु की दूरी
- जीवा (Chord) = वृत्त पर दो बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड
- व्यास (Diameter) = केंद्र से गुज़रने वाली सबसे बड़ी जीवा (d = 2r)
2. स्पर्श रेखा (Tangent) और छेदक रेखा (Secant)
| पद | परिभाषा |
|---|---|
| स्पर्श रेखा (Tangent) | वृत्त को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करने वाली रेखा |
| छेदक रेखा (Secant) | वृत्त को दो बिंदुओं पर काटने वाली रेखा |
| स्पर्श बिंदु (Point of Contact) | वह बिंदु जहाँ स्पर्श रेखा वृत्त को छूती है |
छेदक रेखा (Secant) स्पर्श रेखा (Tangent)
———•———•——— ———•———
A B P
(दो बिंदुओं पर काटती है) (एक बिंदु पर स्पर्श करती है)
3. स्पर्श रेखा के मुख्य प्रमेय (Tangent Theorems)
प्रमेय 10.1: स्पर्श रेखा त्रिज्या पर लंब होती है
वृत्त के किसी बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखा, स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब (perpendicular) होती है।
O
/|
/ |
r / | स्पर्श रेखा (Tangent)
/ |
/ θ |
P—————•———————————
(90°)
∠OPT = 90° (जहाँ O = केंद्र, P = स्पर्श बिंदु, PT = स्पर्श रेखा)
प्रमेय 10.2: बाह्य बिंदु से स्पर्श रेखाएँ
किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं, और वे बराबर लंबाई की होती हैं।
A
/ \
/ \
/ \
O • P (बाह्य बिंदु)
\ /
\ /
\ /
B
PA = PB (दोनों स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर)
OP, ∠APB और ∠AOB को समद्विभाजित करता है
4. स्पर्श रेखा की लंबाई का सूत्र
बाह्य बिंदु P से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई:
PT = √(OP² – r²)
जहाँ:
– OP = केंद्र से बाह्य बिंदु तक की दूरी
– r = वृत्त की त्रिज्या
5. महत्वपूर्ण तथ्य (Important Facts)
- वृत्त पर किसी बिंदु पर केवल एक स्पर्श रेखा होती है
- स्पर्श रेखा पर स्पर्श बिंदु के अलावा वृत्त का कोई अन्य बिंदु नहीं होता
- केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है
- एक चाप द्वारा केंद्र पर बना कोण, शेष वृत्त पर बने कोण का दोगुना होता है
📝 Solved Examples (5)
Example 1: स्पर्श रेखा और त्रिज्या में कोण
एक वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी है। वृत्त के केंद्र O से 13 सेमी दूर बिंदु P से स्पर्श रेखा PT खींची गई है। स्पर्श रेखा PT की लंबाई ज्ञात करें।
हल:
दिया है: OT = r = 5 सेमी, OP = 13 सेमी
प्रमेय 10.1 के अनुसार, OT ⟂ PT
∴ ∠OTP = 90°
पाइथागोरस प्रमेय से:
PT² = OP² - OT²
PT² = 13² - 5²
PT² = 169 - 25
PT² = 144
PT = √144 = 12 सेमी
स्पर्श रेखा की लंबाई = 12 सेमी ✅
Example 2: बाह्य बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई
O केंद्र वाले वृत्त के बाहर बिंदु P से दो स्पर्श रेखाएँ PA और PB खींची गई हैं। यदि ∠APB = 60° और वृत्त की त्रिज्या 3 सेमी है, तो PA की लंबाई ज्ञात करें।
हल:
प्रमेय 10.2 के अनुसार, PA = PB
OP, ∠APB को समद्विभाजित करता है
∴ ∠APO = ∠BPO = 30°
OA ⟂ PA (प्रमेय 10.1) ∴ ∠OAP = 90°
समकोण त्रिभुज OAP में:
tan 30° = OA / PA
1/√3 = 3 / PA
PA = 3√3 सेमी
PA = 3√3 सेमी ✅
Example 3: एक ही चाप पर बने कोण
O केंद्र वाले वृत्त में, जीवा AB द्वारा केंद्र पर बना कोण ∠AOB = 120° है। शेष वृत्त पर कोण ∠ACB ज्ञात करें।
हल:
प्रमेय के अनुसार, किसी चाप द्वारा केंद्र पर बना कोण,
शेष वृत्त पर बने कोण का दोगुना होता है।
∠AOB = 2 × ∠ACB
120° = 2 × ∠ACB
∠ACB = 120°/2 = 60°
∠ACB = 60° ✅
Example 4: स्पर्श रेखा पर लंब
एक वृत्त के केंद्र O से 10 सेमी दूर स्थित बिंदु P से खींची गई स्पर्श रेखा PT की लंबाई 8 सेमी है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करें।
हल:
दिया है: OP = 10 सेमी, PT = 8 सेमी
प्रमेय 10.1 के अनुसार, OT ⟂ PT
∴ ∠OTP = 90°
पाइथागोरस प्रमेय से:
OT² = OP² - PT²
OT² = 10² - 8²
OT² = 100 - 64
OT² = 36
OT = √36 = 6 सेमी
वृत्त की त्रिज्या = 6 सेमी ✅
Example 5: बाह्य बिंदु से स्पर्श रेखा — कोण ज्ञात करना
O केंद्र वाले वृत्त पर बाह्य बिंदु P से PA और PB स्पर्श रेखाएँ हैं। यदि ∠AOB = 130°, तो ∠APB का मान ज्ञात करें।
हल:
OA ⟂ PA ∴ ∠OAP = 90°
OB ⟂ PB ∴ ∠OBP = 90°
चतुर्भुज OAPB में चारों कोणों का योग = 360°
∠OAP + ∠OBP + ∠AOB + ∠APB = 360°
90° + 90° + 130° + ∠APB = 360°
310° + ∠APB = 360°
∠APB = 360° - 310° = 50°
∠APB = 50° ✅
✏️ Practice Questions (5)
Q1. एक वृत्त के केंद्र O से 25 सेमी दूर बिंदु P से स्पर्श रेखा PT खींची गई है। यदि वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी है, तो PT की लंबाई ज्ञात करें।
👉 उत्तर देखें
**दिया है:** OP = 25 सेमी, OT = r = 7 सेमी
**PT² = OP² – OT²** = 25² – 7² = 625 – 49 = 576
**PT = √576 = 24 सेमी**
Q2. दो संकेंद्रीय वृत्तों (concentric circles) की त्रिज्याएँ 5 सेमी और 3 सेमी हैं। बड़े वृत्त की जीवा AB, जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती है, की लंबाई ज्ञात करें।
👉 उत्तर देखें
मान लें O दोनों वृत्तों का उभयनिष्ठ केंद्र है।
बड़े वृत्त की त्रिज्या = OA = OB = 5 सेमी
छोटे वृत्त की त्रिज्या = OC = 3 सेमी (जहाँ C, AB पर लंब का पाद है)
OC ⟂ AB (केंद्र से जीवा पर लंब)
समकोण त्रिभुज OAC में:
AC² = OA² – OC² = 25 – 9 = 16
AC = 4 सेमी
AB = 2 × AC = **8 सेमी**
Q3. सिद्ध करें कि किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है।
👉 उत्तर देखें
O केंद्र वाले वृत्त पर बाह्य बिंदु P से PA और PB स्पर्श रेखाएँ हैं।
**सिद्ध करना है:** PA = PB
**रचना:** OA, OB और OP को मिलाएँ।
**उपपत्ति:**
OA ⟂ PA और OB ⟂ PB (प्रमेय 10.1 से)
∴ ∠OAP = ∠OBP = 90°
ΔOAP और ΔOBP में:
OA = OB (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
OP = OP (उभयनिष्ठ)
∠OAP = ∠OBP = 90°
∴ ΔOAP ≅ ΔOBP (RHS सर्वांगसमता)
∴ PA = PB (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग) **सिद्ध** ✅
Q4. O केंद्र वाले वृत्त के बाहर बिंदु P से PA और PB स्पर्श रेखाएँ हैं। यदि ∠APB = 80° है, तो ∠AOP का मान ज्ञात करें।
👉 उत्तर देखें
चूँकि PA = PB, OP ∠APB को समद्विभाजित करता है।
∠APO = ∠BPO = 80°/2 = 40°
OA ⟂ PA ∴ ∠OAP = 90°
ΔOAP में:
∠AOP + ∠OAP + ∠APO = 180°
∠AOP + 90° + 40° = 180°
∠AOP = 180° – 130° = **50°**
Q5. एक वृत्त के केंद्र से 41 सेमी दूर स्थित बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई 40 सेमी है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करें।
👉 उत्तर देखें
**दिया है:** OP = 41 सेमी, PT = 40 सेमी
प्रमेय 10.1 के अनुसार, OT ⟂ PT
OT² = OP² – PT² = 41² – 40²
OT² = 1681 – 1600 = 81
OT = √81 = **9 सेमी** = वृत्त की त्रिज्या
📅 Generated: 4 July 2026 | 📚 MP Board Class 10 Maths Chapter 10: वृत्त (Circles)