📊 MP Board Class 10 Maths — Chapter 13: सांख्यिकी (Statistics)

📌 Key Concepts & Formulas

1. वर्गीकृत डेटा का माध्य (Mean of Grouped Data)

तीन विधियाँ हैं:

(a) प्रत्यक्ष विधि (Direct Method)

x̄ = (Σ fᵢxᵢ) / (Σ fᵢ)

जहाँ:
– xᵢ = वर्ग-चिह्न (Class mark) = (निम्न सीमा + उच्च सीमा) / 2
– fᵢ = बारंबारता (Frequency)
– Σ fᵢ = कुल बारंबारता

(b) कल्पित माध्य विधि (Assumed Mean Method)

x̄ = a + (Σ fᵢdᵢ) / (Σ fᵢ)

जहाँ dᵢ = xᵢ − a (a = कल्पित माध्य)

(c) पग-विचलन विधि (Step-Deviation Method)

x̄ = a + (Σ fᵢuᵢ) / (Σ fᵢ) × h

जहाँ uᵢ = (xᵢ − a) / h और h = वर्ग-अंतराल का आकार

2. वर्गीकृत डेटा का माध्यक (Median of Grouped Data)

Median = l + [(n/2 − cf) / f] × h

जहाँ:
– l = माध्यक वर्ग की निम्न सीमा (Lower limit of median class)
– n = Σf (कुल बारंबारता)
– cf = माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता (Cumulative frequency before median class)
– f = माध्यक वर्ग की बारंबारता
– h = वर्ग-अंतराल का आकार

चरण:
1. संचयी बारंबारता (Cumulative frequency) सारणी बनाएँ
2. n/2 ज्ञात करें
3. वह वर्ग जिसकी संचयी बारंबारता n/2 से बड़ी या बराबर हो — माध्यक वर्ग
4. सूत्र में मान रखें

3. बहुलक (Mode of Grouped Data)

Mode = l + [(f₁ − f₀) / (2f₁ − f₀ − f₂)] × h

जहाँ:
– l = बहुलक वर्ग की निम्न सीमा
– f₁ = बहुलक वर्ग की बारंबारता
– f₀ = बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता
– f₂ = बहुलक वर्ग के ठीक बाद वाले वर्ग की बारंबारता
– h = वर्ग-अंतराल का आकार

4. माध्य, माध्यक और बहुलक में संबंध (Empirical Relationship)

3 × Median = Mode + 2 × Mean

अर्थात:

Mode = 3 × Median − 2 × Mean

5. बारंबारता बहुभुज (Frequency Polygon)

• वर्गों के मध्य-बिंदुओं (class marks) को मिलाने से बनता है
• वर्गीकृत डेटा को ग्राफिकल रूप में दिखाने का तरीका

6. तोरण (Ogive)

• से कम तोरण (Less than ogive): प्रत्येक वर्ग की उच्च सीमा पर CF (संचयी बारंबारता) ग्राफ
• से अधिक तोरण (More than ogive): प्रत्येक वर्ग की निम्न सीमा पर CF ग्राफ
• दोनों का प्रतिच्छेदन बिंदु → माध्यक (Median)

📝 Solved Examples (5)

Example 1: माध्य ज्ञात करें — Direct Method

निम्नलिखित बारंबारता वितरण का माध्य ज्ञात करें:

हल:

चरण 1: वर्ग-चिह्न (xᵢ) और fᵢxᵢ ज्ञात करें:

चरण 2: x̄ = Σfᵢxᵢ / Σfᵢ = 825 / 35

माध्य = 23.57 ✅

Example 2: माध्य ज्ञात करें — Step-Deviation Method

हल:

h = 15, मान लें a = 55 (कल्पित माध्य)

x̄ = a + (Σfᵢuᵢ / Σfᵢ) × h

x̄ = 55 + (14/30) × 15

x̄ = 55 + 7

माध्य = 62 ✅

Example 3: माध्यक (Median) ज्ञात करें

हल:

चरण 1: संचयी बारंबारता (CF) सारणी:

चरण 2: n = 60, n/2 = 30

चरण 3: 30 से बड़ी CF = 33 (वर्ग 20-30) — यह माध्यक वर्ग है।

l = 20, cf = 13, f = 20, h = 10

चरण 4: Median = l + [(n/2 − cf) / f] × h

Median = 20 + [(30 − 13) / 20] × 10

Median = 20 + (17/20) × 10

Median = 20 + 8.5

माध्यक = 28.5 ✅

Example 4: बहुलक (Mode) ज्ञात करें

हल:

सर्वाधिक बारंबारता = 16, जो वर्ग 30-40 में है।

बहुलक वर्ग: 30-40

l = 30, f₁ = 16, f₀ = 12, f₂ = 14, h = 10

Mode = l + [(f₁ − f₀) / (2f₁ − f₀ − f₂)] × h

Mode = 30 + [(16 − 12) / (2(16) − 12 − 14)] × 10

Mode = 30 + [4 / (32 − 26)] × 10

Mode = 30 + (4/6) × 10

Mode = 30 + 6.67

बहुलक = 36.67 ✅

Example 5: माध्य, माध्यक और बहुलक में संबंध

एक बारंबारता वितरण का माध्य 30 और माध्यक 32 है। बहुलक ज्ञात करें।

हल:

सूत्र: Mode = 3 × Median − 2 × Mean

Mode = 3 × 32 − 2 × 30

Mode = 96 − 60

बहुलक = 36 ✅

(जाँच: 3 × 32 = 96, Mode + 2 × Mean = 36 + 60 = 96 ✓)

✏️ Practice Questions (5)

Q1. निम्नलिखित डेटा का माध्य प्रत्यक्ष विधि से ज्ञात करें:

Q2. निम्नलिखित डेटा का माध्यक ज्ञात करें:

Q3. निम्नलिखित डेटा का बहुलक ज्ञात करें:

Q4. एक वितरण का माध्य 25.6 और माध्यक 27 है। बहुलक ज्ञात करें।

Q5. निम्नलिखित डेटा का माध्य Step-Deviation Method से ज्ञात करें:

📅 Generated: 7 July 2026 | 📚 MP Board Class 10 Maths — Chapter 13: Statistics