🟠 MP Board Class 10 Maths — Chapter 11: वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल (Areas Related to Circles)

📌 Key Concepts & Formulas

1. वृत्त का क्षेत्रफल (Area of a Circle)

किसी वृत्त का क्षेत्रफल = πr², जहाँ r = वृत्त की त्रिज्या (radius)

• व्यास (diameter) d = 2r
• परिधि (circumference) = 2πr = πd

2. त्रिज्यखंड (Sector) — चाप और क्षेत्रफल

एक वृत्त में दो त्रिज्याओं और एक चाप के बीच का क्षेत्र त्रिज्यखंड (sector) कहलाता है।

जहाँ θ = त्रिज्यखंड का कोण (केंद्र पर) डिग्री में।

3. वृत्तखंड (Segment) — क्षेत्रफल

एक जीवा और उसके संगत चाप के बीच का क्षेत्र वृत्तखंड (segment) कहलाता है।

ध्यान दें: θ को डिग्री में लें। sin θ का मान θ डिग्री के लिए होगा।

4. अर्धवृत्त (Semicircle)

• अर्धवृत्त का क्षेत्रफल = (1/2) × πr² = πr²/2
• अर्धवृत्त की परिधि = πr + 2r = r(π + 2)

5. विभिन्न आकृतियों के संयोजन से बने क्षेत्र (Combined Figures)

जब वृत्तों से संबंधित आकृतियाँ आयतों, त्रिभुजों या वर्गों के साथ मिलकर बनती हैं, तो:
1. प्रत्येक घटक (component) का क्षेत्रफल अलग-अलग निकालें
2. आवश्यकतानुसार जोड़ें या घटाएँ
3. यदि छायांकित भाग (shaded region) पूछा जाए — तो बड़ी आकृति के क्षेत्रफल में से छोटी आकृति का क्षेत्रफल घटा दें

📝 Solved Examples (5)

Example 1: वृत्त का क्षेत्रफल — टॉपर की तरह

एक वृत्त की त्रिज्या 7 cm है। वृत्त का क्षेत्रफल और परिधि ज्ञात करें। (π = 22/7)

हल:

दिया है: r = 7 cm, π = 22/7

क्षेत्रफल = πr² = (22/7) × 7 × 7
          = 22 × 7 = 154 cm² ✅

परिधि = 2πr = 2 × (22/7) × 7
       = 2 × 22 = 44 cm ✅

उत्तर: क्षेत्रफल = 154 cm², परिधि = 44 cm

Example 2: त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

14 cm त्रिज्या वाले वृत्त का एक त्रिज्यखंड, जिसका कोण 60° है, का क्षेत्रफल और चाप की लंबाई ज्ञात करें। (π = 22/7)

हल:

दिया है: r = 14 cm, θ = 60°, π = 22/7

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (θ/360) × πr²
                         = (60/360) × (22/7) × 14 × 14
                         = (1/6) × 22 × 2 × 14
                         = (1/6) × 616
                         = 102.67 cm² (लगभग) ✅

चाप की लंबाई = (θ/360) × 2πr
             = (60/360) × 2 × (22/7) × 14
             = (1/6) × 88
             = 14.67 cm (लगभग) ✅

उत्तर: त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ≈ 102.67 cm², चाप की लंबाई ≈ 14.67 cm

Example 3: वृत्तखंड का क्षेत्रफल

12 cm त्रिज्या वाले वृत्त में एक जीवा केंद्र पर 60° का कोण बनाती है। लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करें। (π = 3.14, √3 = 1.73)

हल:

दिया है: r = 12 cm, θ = 60°

लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (θ/360) × πr²
                              = (60/360) × 3.14 × 144
                              = (1/6) × 452.16
                              = 75.36 cm²

त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल = (1/2) × r² × sin θ
                          = (1/2) × 144 × sin 60°
                          = 72 × (√3/2)
                          = 72 × (1.73/2)
                          = 72 × 0.865
                          = 62.28 cm²

लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल - त्रिभुज का क्षेत्रफल
                           = 75.36 - 62.28
                           = 13.08 cm² ✅

उत्तर: लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल ≈ 13.08 cm²

Example 4: छायांकित भाग का क्षेत्रफल

10 cm भुजा वाले एक वर्ग के अंदर चारों कोनों पर 2.5 cm त्रिज्या के चार वृत्त-चतुर्थांश (quadrants) काट दिए गए हैं। शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात करें। (π = 3.14)

हल:

वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा)² = 10 × 10 = 100 cm²

एक वृत्त-चतुर्थांश का क्षेत्रफल = (1/4) × πr²
                                 = (1/4) × 3.14 × (2.5)²
                                 = (1/4) × 3.14 × 6.25
                                 = (1/4) × 19.625
                                 = 4.90625 cm²

चारों वृत्त-चतुर्थांशों का कुल क्षेत्रफल = 4 × 4.90625 = 19.625 cm²

शेष भाग का क्षेत्रफल = 100 - 19.625 = 80.375 cm² ✅

उत्तर: शेष भाग का क्षेत्रफल ≈ 80.375 cm²

Example 5: वृत्ताकार पथ (Circular Path — Ring)

21 cm बाहरी त्रिज्या (outer radius) और 14 cm आंतरिक त्रिज्या (inner radius) वाले एक वृत्ताकार रिंग का क्षेत्रफल ज्ञात करें। (π = 22/7)

हल:

दिया है: R (बाहरी) = 21 cm, r (आंतरिक) = 14 cm

रिंग का क्षेत्रफल = बाहरी वृत्त का क्षेत्रफल - आंतरिक वृत्त का क्षेत्रफल
                  = πR² - πr²
                  = π(R² - r²)
                  = (22/7) × (21² - 14²)
                  = (22/7) × (441 - 196)
                  = (22/7) × 245
                  = 22 × 35
                  = 770 cm² ✅

उत्तर: वृत्ताकार रिंग का क्षेत्रफल = 770 cm²

✏️ Practice Questions (5)

Q1. एक वृत्त की त्रिज्या 10.5 cm है। वृत्त का क्षेत्रफल और परिधि ज्ञात करें। (π = 22/7)

Q2. एक घड़ी की मिनट की सुई 7 cm लंबी है। 15 मिनट में इस सुई द्वारा बनाए गए त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करें। (π = 22/7)

संकेत: 15 मिनट = 90° का कोण

Q3. 7 cm त्रिज्या वाले वृत्त में एक जीवा केंद्र पर 90° का कोण बनाती है। लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करें। (π = 22/7)

Q4. 8 cm त्रिज्या वाले वृत्त में 120° कोण वाले दीर्घ त्रिज्यखंड (major sector) का क्षेत्रफल ज्ञात करें। (π = 3.14)

Q5. एक वृत्ताकार खेत के चारों ओर 3.5 m चौड़ा रास्ता है। यदि खेत की त्रिज्या 17.5 m है, तो रास्ते का क्षेत्रफल ज्ञात करें। (π = 22/7)

📅 Generated: 05 July 2026 | 📚 MP Board Class 10 Maths — Chapter 11