MP Board Class 10 Maths Chapter 4: Quadratic Equations — Notes, Formulas & Practice Questions
🔢 MP Board Class 10 Maths — Chapter 4: द्विघात समीकरण (Quadratic Equations)
📌 Key Concepts & Formulas
1. द्विघात समीकरण क्या है? (What is a Quadratic Equation?)
एक चर वाला बहुपद समीकरण जिसमें चर की अधिकतम घात (degree) 2 हो — द्विघात समीकरण कहलाता है।
मानक रूप (Standard Form):
ax² + bx + c = 0, जहाँ a ≠ 0
a,b,c= वास्तविक संख्याएँ (Real numbers)a= x² का गुणांक (coefficient)b= x का गुणांकc= अचर पद (constant term)
उदाहरण: 2x² – 5x + 3 = 0 (यहाँ a = 2, b = -5, c = 3)
2. गुणनखंड विधि (Factorisation Method)
जब द्विघात समीकरण को गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखा जा सके:
चरण:
1. समीकरण को ax² + bx + c = 0 के रूप में लिखें
2. a × c ज्ञात करें
3. दो ऐसी संख्याएँ खोजें जिनका योग = b और गुणनफल = a × c
4. मध्य पद (middle term) को विभाजित करें
5. सामान्य गुणनखंड लेकर समीकरण हल करें
6. प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखें
उदाहरण: x² + 5x + 6 = 0
– a = 1, b = 5, c = 6
– a × c = 6, b = 5
– संख्याएँ: 2 और 3 (2+3=5, 2×3=6)
– x² + 2x + 3x + 6 = 0
– x(x+2) + 3(x+2) = 0
– (x+2)(x+3) = 0
– x = -2 या x = -3
3. पूर्ण वर्ग बनाने की विधि (Method of Completing the Square)
चरण:
1. समीकरण को ax² + bx + c = 0 के रूप में लिखें
2. दोनों तरफ c को RHS ले जाएँ: ax² + bx = -c
3. a से भाग दें: x² + (b/a)x = -c/a
4. (b/2a)² जोड़ें और घटाएँ
5. बायाँ भाग पूर्ण वर्ग बनाएँ
6. दोनों तरफ वर्गमूल लें
7. x का मान ज्ञात करें
उदाहरण: x² + 4x – 5 = 0
– x² + 4x = 5
– x² + 4x + (4/2)² = 5 + (4/2)²
– x² + 4x + 4 = 5 + 4
– (x + 2)² = 9
– x + 2 = ±3
– x = 1 या x = -5
4. द्विघात सूत्र (Quadratic Formula) — श्रीधराचार्य सूत्र
x = [-b ± √(b² – 4ac)] / 2a
यह सूत्र ax² + bx + c = 0 के किसी भी द्विघात समीकरण को हल कर सकता है।
5. विविक्तकर (Discriminant) — D
D = b² – 4ac
| D का मान | मूलों की प्रकृति (Nature of Roots) |
|---|---|
| D > 0 | दो वास्तविक और असमान मूल (Real & Unequal) |
| D = 0 | दो वास्तविक और समान मूल (Real & Equal) |
| D < 0 | कोई वास्तविक मूल नहीं (No Real Roots) |
सारांश:
– D > 0 → दो भिन्न वास्तविक मूल ✔️
– D = 0 → दो समान वास्तविक मूल (एक मूल दो बार) ✔️
– D < 0 → कोई वास्तविक मूल नहीं ✘
6. मूलों का योग और गुणनफल (Sum & Product of Roots)
यदि α और β द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूल हों, तो:
मूलों का योग (Sum): α + β = -b/a
मूलों का गुणनफल (Product): α × β = c/a
यदि मूल दिए गए हों, तो द्विघात समीकरण:
x² – (α + β)x + αβ = 0
📝 Solved Examples (5)
Example 1: गुणनखंड विधि से हल करें — 2x² – 5x + 3 = 0
दिया है: 2x² – 5x + 3 = 0
– a = 2, b = -5, c = 3
– a × c = 6, b = -5
चरण 1: दो संख्याएँ खोजें जिनका योग = -5 और गुणनफल = 6
→ -2 और -3 (क्योंकि -2 + (-3) = -5 और (-2)(-3) = 6)
चरण 2: मध्य पद विभाजित करें
2x² - 2x - 3x + 3 = 0
चरण 3: सामान्य गुणनखंड लें
2x(x - 1) - 3(x - 1) = 0
(x - 1)(2x - 3) = 0
चरण 4: प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखें
x - 1 = 0 → x = 1
2x - 3 = 0 → x = 3/2
मूल: x = 1 या x = 3/2 ✅
Example 2: पूर्ण वर्ग विधि से हल करें — 2x² – 7x + 3 = 0
दिया है: 2x² – 7x + 3 = 0
चरण 1: अचर पद RHS ले जाएँ
2x² - 7x = -3
चरण 2: a = 2 से भाग दें
x² - (7/2)x = -3/2
चरण 3: (b/2a)² जोड़ें — यहाँ b = -7/2, b²/4 = (49/4)/4…
सीधे: (7/4)² = 49/16 दोनों तरफ जोड़ें
x² - (7/2)x + 49/16 = -3/2 + 49/16
चरण 4: बायाँ भाग पूर्ण वर्ग
(x - 7/4)² = -24/16 + 49/16 = 25/16
चरण 5: वर्गमूल लें
x - 7/4 = ±5/4
x = 7/4 ± 5/4
मूल:
x = 7/4 + 5/4 = 12/4 = 3
x = 7/4 - 5/4 = 2/4 = 1/2
x = 3 या x = 1/2 ✅
Example 3: द्विघात सूत्र से हल करें — 3x² – 5x + 2 = 0
दिया है: 3x² – 5x + 2 = 0
– a = 3, b = -5, c = 2
चरण 1: विविक्तकर (D) ज्ञात करें
D = b² - 4ac
D = (-5)² - 4(3)(2)
D = 25 - 24
D = 1
चरण 2: द्विघात सूत्र लागू करें
x = [-b ± √D] / 2a
x = [5 ± √1] / 6
x = [5 ± 1] / 6
मूल:
x = (5 + 1)/6 = 6/6 = 1
x = (5 - 1)/6 = 4/6 = 2/3
x = 1 या x = 2/3 ✅
Example 4: मूलों की प्रकृति ज्ञात करें — 2x² – 4x + 3 = 0
दिया है: 2x² – 4x + 3 = 0
– a = 2, b = -4, c = 3
चरण 1: विविक्तकर ज्ञात करें
D = b² - 4ac
D = (-4)² - 4(2)(3)
D = 16 - 24
D = -8
चरण 2: D < 0 है
निष्कर्ष: D = -8 < 0
∴ इस समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं। मूल काल्पनिक (imaginary) होंगे। ✅
Example 5: यदि मूल 2 और -3 हों, तो द्विघात समीकरण ज्ञात करें।
दिया है: α = 2, β = -3
चरण 1: मूलों का योग
α + β = 2 + (-3) = -1
चरण 2: मूलों का गुणनफल
α × β = 2 × (-3) = -6
चरण 3: सूत्र में रखें
x² - (α + β)x + αβ = 0
x² - (-1)x + (-6) = 0
x² + x - 6 = 0
अभीष्ट द्विघात समीकरण: x² + x – 6 = 0 ✅
✏️ Practice Questions (5)
Q1. गुणनखंड विधि से हल करें: 6x² – x – 2 = 0
👉 उत्तर देखें
6x² – x – 2 = 0
– a = 6, c = -2, a×c = -12, b = -1
– संख्याएँ: -4 और 3 (-4+3=-1, -4×3=-12)
– 6x² – 4x + 3x – 2 = 0
– 2x(3x – 2) + 1(3x – 2) = 0
– (3x – 2)(2x + 1) = 0
– **x = 2/3** या **x = -1/2**
Q2. द्विघात सूत्र का प्रयोग कर हल करें: x² – 3x – 10 = 0
👉 उत्तर देखें
a = 1, b = -3, c = -10
D = (-3)² – 4(1)(-10) = 9 + 40 = 49
x = [3 ± √49] / 2 = [3 ± 7] / 2
x = (3+7)/2 = 5 या x = (3-7)/2 = -2
**x = 5** या **x = -2**
Q3. जाँच करें कि समीकरण 3x² – 4√3x + 4 = 0 के मूल वास्तविक हैं या नहीं।
👉 उत्तर देखें
a = 3, b = -4√3, c = 4
D = b² – 4ac
D = (-4√3)² – 4(3)(4)
D = 48 – 48 = 0
D = 0 ⇒ दो समान वास्तविक मूल हैं।
x = [-(-4√3) ± 0] / 2(3) = 4√3/6 = 2√3/3
**मूल: 2√3/3 (दो बार)**
Q4. k का मान ज्ञात करें जिससे kx(x – 2) + 6 = 0 के मूल समान हों।
👉 उत्तर देखें
kx(x – 2) + 6 = 0
kx² – 2kx + 6 = 0
a = k, b = -2k, c = 6
समान मूलों के लिए D = 0
D = b² – 4ac = 0
(-2k)² – 4(k)(6) = 0
4k² – 24k = 0
4k(k – 6) = 0
k = 0 या k = 6
किंतु a ≠ 0, इसलिए k ≠ 0
∴ **k = 6**
Q5. एक आयताकार पार्क की लंबाई उसकी चौड़ाई से 3 मीटर अधिक है। यदि पार्क का क्षेत्रफल 108 m² है, तो पार्क की लंबाई और चौड़ाई ज्ञात करें।
👉 उत्तर देखें
माना चौड़ाई = x मीटर, लंबाई = (x + 3) मीटर
क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई
x(x + 3) = 108
x² + 3x – 108 = 0
a = 1, b = 3, c = -108
D = 9 – 4(1)(-108) = 9 + 432 = 441
x = [-3 ± √441] / 2 = [-3 ± 21] / 2
x = (-3+21)/2 = 9 या x = (-3-21)/2 = -12 (चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती)
चौड़ाई = **9 मीटर**, लंबाई = **12 मीटर**
📅 Generated: 18 June 2026 | 📚 MP Board Class 10 Maths