MP Board Class 10 Maths Chapter 3: Pair of Linear Equations in Two Variables — Notes, Formulas & Practice Questions

📐 MP Board Class 10 Maths — Chapter 3: दो चरों में रैखिक समीकरण युग्म (Pair of Linear Equations in Two Variables)

📌 Key Concepts & Formulas

1. दो चरों में रैखिक समीकरण क्या है? (What is a Linear Equation in Two Variables?)

सामान्य रूप: a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0
जहाँ a₁, b₁, c₁, a₂, b₂, c₂ वास्तविक संख्याएँ (real numbers) हैं और a₁, b₁ तथा a₂, b₂ एक साथ शून्य नहीं हैं।

  • दो चरों वाले रैखिक समीकरण का ग्राफ एक सरल रेखा (straight line) होता है।

2. समीकरण युग्म के हल के प्रकार (Types of Solutions)

अनुपात (Ratio) रेखाओं की स्थिति हलों की संख्या संगतता (Consistency)
a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ प्रतिच्छेदी (Intersecting) एक अद्वितीय हल (Unique solution) संगत (Consistent)
a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ संपाती (Coincident) अनंत हल (Infinitely many) संगत (Consistent)
a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ समांतर (Parallel) कोई हल नहीं (No solution) असंगत (Inconsistent)

📌 याद रखने का तरीका:
– a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ → एक हल (Intersecting)
– a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ → अनंत हल (Coincident)
– a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ → कोई हल नहीं (Parallel)

3. हल ज्ञात करने की विधियाँ (Methods to Solve)

3.1 ग्राफीय विधि (Graphical Method)

  • दोनों समीकरणों के लिए कम-से-कम 3 बिंदु ज्ञात करें
  • ग्राफ पेपर पर रेखाएँ खींचें
  • प्रतिच्छेद बिंदु = हल

3.2 प्रतिस्थापन विधि (Substitution Method)

चरण:
1. किसी एक समीकरण से एक चर को दूसरे चर के रूप में व्यक्त करें
2. इस मान को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें
3. एक चर का मान ज्ञात करें
4. पहले चरण में व्यंजक में रखकर दूसरे चर का मान निकालें

3.3 विलोपन विधि (Elimination Method)

चरण:
1. दोनों समीकरणों को उपयुक्त संख्याओं से गुणा करें ताकि एक चर के गुणांक समान (या विपरीत) हो जाएँ
2. समीकरणों को जोड़ें या घटाएँ — एक चर विलोपित हो जाएगा
3. बचे हुए चर का मान ज्ञात करें
4. किसी भी मूल समीकरण में रखकर दूसरे चर का मान निकालें

3.4 वज्र-गुणन विधि (Cross-Multiplication Method)

यदि a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0, तो:

     x              y              1
---------  =  -----------  =  ----------
|b₁ c₁|       |c₁ a₁|        |a₁ b₁|
|b₂ c₂|       |c₂ a₂|        |a₂ b₂|

x/(b₁c₂ - b₂c₁) = y/(c₁a₂ - c₂a₁) = 1/(a₁b₂ - a₂b₁)

सूत्र:
– x = (b₁c₂ - b₂c₁) / (a₁b₂ - a₂b₁)
– y = (c₁a₂ - c₂a₁) / (a₁b₂ - a₂b₁)

📌 जहाँ a₁b₂ - a₂b₁ ≠ 0 (अद्वितीय हल के लिए)

4. महत्वपूर्ण बिंदु (Important Points)

विधि कब उपयोग करें?
ग्राफीय जब चरों के सरल मान हों (0, 1, 2 जैसे)
प्रतिस्थापन जब किसी एक चर का गुणांक 1 हो
विलोपन जब गुणांकों को आसानी से समान किया जा सके
वज्र-गुणन जब सभी गुणांक दिए हों और सूत्र सीधा लगाना हो

📝 Solved Examples (5)

Example 1: ग्राफीय विधि से हल करें — x + y = 5 और x – y = 1

Step 1: प्रत्येक समीकरण के लिए बिंदु ज्ञात करें

x + y = 5 x – y = 1
x y x y
0 5 0 -1
5 0 1 0
2 3 2 1

Step 2: ग्राफ पर बिंदु अंकित करें और रेखाएँ खींचें

दोनों रेखाएँ बिंदु (3, 2) पर प्रतिच्छेद करती हैं।

हल: x = 3, y = 2 ✅

जाँच: 3 + 2 = 5 ✅ | 3 – 2 = 1 ✅

Example 2: प्रतिस्थापन विधि से हल करें — 3x + y = 11 और 2x – 3y = 0

Step 1: पहले समीकरण से y को x में व्यक्त करें

3x + y = 11
y = 11 - 3x

Step 2: दूसरे समीकरण में y का मान रखें

2x - 3(11 - 3x) = 0
2x - 33 + 9x = 0
11x = 33
x = 3

Step 3: y का मान ज्ञात करें

y = 11 - 3(3)
y = 11 - 9
y = 2

हल: x = 3, y = 2 ✅

जाँच: 3(3) + 2 = 9 + 2 = 11 ✅ | 2(3) – 3(2) = 6 – 6 = 0 ✅

Example 3: विलोपन विधि से हल करें — 2x + 3y = 11 और 3x + 2y = 9

Step 1: y को विलोपित करने के लिए समीकरणों को गुणा करें

2x + 3y = 11   ...(1)   × 2
3x + 2y = 9    ...(2)   × 3

Step 2: नए समीकरण प्राप्त करें

4x + 6y = 22   ...(1')
9x + 6y = 27   ...(2')

Step 3: (1′) को (2′) से घटाएँ

(9x + 6y) - (4x + 6y) = 27 - 22
5x = 5
x = 1

Step 4: किसी भी मूल समीकरण में x = 1 रखें

2(1) + 3y = 11
2 + 3y = 11
3y = 9
y = 3

हल: x = 1, y = 3 ✅

जाँच: 3(1) + 2(3) = 3 + 6 = 9 ✅

Example 4: वज्र-गुणन विधि से हल करें — 3x – 5y = -1 और x – y = -1

Step 1: मानक रूप में लिखें

3x - 5y + 1 = 0    ...(a₁ = 3, b₁ = -5, c₁ = 1)
x - y + 1 = 0       ...(a₂ = 1, b₂ = -1, c₂ = 1)

Step 2: वज्र-गुणन सूत्र लगाएँ

x              y              1
---------  =  -----------  =  ----------
|-5  1|       |1  3|         |3  -5|
|-1  1|       |1  1|         |1  -1|

    x                    y                        1
----------  =  -------------------  =  ---------------------
(-5)(1)-(1)(-1)   (1)(1)-(1)(3)      (3)(-1)-(-5)(1)

   x              y           1
--------  =  -----------  =  -----
-5 + 1        1 - 3        -3 + 5

   x         y       1
------  =  ------  = ---
  -4         -2       2

Step 3: x और y ज्ञात करें

x = (-4)/2 = -2
y = (-2)/2 = -1

हल: x = -2, y = -1 ✅

जाँच: 3(-2) – 5(-1) = -6 + 5 = -1 ✅ | (-2) – (-1) = -2 + 1 = -1 ✅

Example 5: एक आयत की लंबाई, चौड़ाई से 4 cm अधिक है। यदि परिमाप 40 cm है, तो लंबाई और चौड़ाई ज्ञात करें।

Step 1: चर मान लें

माना लंबाई = x cm, चौड़ाई = y cm

Step 2: समीकरण बनाएँ

x = y + 4               ...(1)  [लंबाई = चौड़ाई + 4]
2(x + y) = 40           ...(2)  [परिमाप = 40]

समीकरण (2) को सरल करें:

x + y = 20              ...(2')

Step 3: प्रतिस्थापन विधि से हल करें
समीकरण (1) से: x = y + 4
समीकरण (2′) में रखें:

(y + 4) + y = 20
2y + 4 = 20
2y = 16
y = 8

x = 8 + 4 = 12

हल: लंबाई = 12 cm, चौड़ाई = 8 cm ✅

जाँच: 12 = 8 + 4 ✅ | 2(12 + 8) = 2(20) = 40 ✅

✏️ Practice Questions (5)

Q1. विलोपन विधि से हल करें: 2x + y = 7 और 3x – 2y = 7

👉 उत्तर देखें

**विलोपन विधि — y को विलोपित करें:**

समीकरण (1) × 2: 4x + 2y = 14
समीकरण (2) × 1: 3x – 2y = 7

जोड़ें: 4x + 2y + 3x – 2y = 14 + 7
7x = 21
x = 3

समीकरण (1) में x = 3 रखें:
2(3) + y = 7
6 + y = 7
y = 1

**हल:** x = 3, y = 1 ✅

Q2. प्रतिस्थापन विधि से हल करें: 4x + 3y = 24 और 2x – y = 2

👉 उत्तर देखें

दूसरे समीकरण से y = 2x – 2

पहले समीकरण में रखें:
4x + 3(2x – 2) = 24
4x + 6x – 6 = 24
10x = 30
x = 3

y = 2(3) – 2 = 6 – 2 = 4

**हल:** x = 3, y = 4 ✅

Q3. जाँच करें कि निम्नलिखित समीकरण युग्म संगत है या असंगत: 2x + 3y = 7 और 4x + 6y = 14

👉 उत्तर देखें

**अनुपात ज्ञात करें:**

a₁/a₂ = 2/4 = 1/2
b₁/b₂ = 3/6 = 1/2
c₁/c₂ = 7/14 = 1/2

चूँकि `a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂`, यह **संपाती (coincident)** रेखाएँ हैं।

∴ संगत (consistent) है — **अनंत हल** होंगे।

Q4. 2 लड़कियों और 3 लड़कों ने मिलकर ₹120 खर्च किए। 3 लड़कियों और 2 लड़कों ने मिलकर ₹130 खर्च किए। प्रत्येक लड़की और प्रत्येक लड़के का खर्च ज्ञात करें।

👉 उत्तर देखें

माना प्रत्येक लड़की का खर्च = ₹x, प्रत्येक लड़के का खर्च = ₹y

**समीकरण:**

2x + 3y = 120   ...(1)
3x + 2y = 130   ...(2)

**विलोपन विधि:**
(1) × 3: 6x + 9y = 360
(2) × 2: 6x + 4y = 260

घटाएँ: 5y = 100 → y = 20

(1) में y = 20 रखें:
2x + 3(20) = 120
2x + 60 = 120
2x = 60
x = 30

**उत्तर:** प्रत्येक लड़की का खर्च = ₹30, प्रत्येक लड़के का खर्च = ₹20 ✅

Q5. वज्र-गुणन विधि से हल करें: 3x + 4y = 10 और 2x – 2y = 2

👉 उत्तर देखें

**मानक रूप:** 3x + 4y – 10 = 0, 2x – 2y – 2 = 0
(a₁ = 3, b₁ = 4, c₁ = -10)
(a₂ = 2, b₂ = -2, c₂ = -2)

**वज्र-गुणन सूत्र:**

x/(4)(-2) - (-10)(-2)  =  y/(-10)(2) - (3)(-2)  =  1/(3)(-2) - (4)(2)

x/(-8 - 20)  =  y/(-20 + 6)  =  1/(-6 - 8)

x/(-28)  =  y/(-14)  =  1/(-14)

x = (-28)/(-14) = 2
y = (-14)/(-14) = 1

**हल:** x = 2, y = 1 ✅

**जाँच:** 3(2) + 4(1) = 6 + 4 = 10 ✅ | 2(2) – 2(1) = 4 – 2 = 2 ✅

📅 Generated: 17 June 2026 | 📚 MP Board Class 10 Maths — Chapter 3: Pair of Linear Equations in Two Variables

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