🔢 MP Board Class 12 Maths — Chapter 1: सम्बन्ध एवं फलन (Relations and Functions)

📌 Key Concepts

1. सम्बन्ध (Relations)

समुच्चय A से समुच्चय B में सम्बन्ध, A × B का एक उपसमुच्चय (subset) होता है।

प्रकार (Types of Relations):

2. फलन (Functions)

समुच्चय A से समुच्चय B में फलन f एक ऐसा सम्बन्ध है जिसमें A के प्रत्येक अवयव का B में एक और केवल एक प्रतिबिम्ब (image) होता है।

निरूपण: f : A → B

प्रकार (Types of Functions):

3. फलनों का संयोजन (Composition of Functions)

(f ∘ g)(x) = f(g(x)) — पहले g(x) निकालें, फिर f लगाएँ।

महत्वपूर्ण गुण:
– संयोजन क्रम-विनिमेय (commutative) नहीं: f ∘ g ≠ g ∘ f
– संयोजन साहचर्य (associative) है: (f ∘ g) ∘ h = f ∘ (g ∘ h)

यदि f : A → B और g : B → C, तब gof : A → C

4. व्युत्क्रमणीय फलन (Invertible Functions)

यदि f : A → B द्विआच्छादक (bijective) है, तो f का व्युत्क्रम (inverse) f⁻¹ : B → A परिभाषित होता है।

गुण:
– f⁻¹ ∘ f = Iₐ (A पर तत्समक फलन)
– f ∘ f⁻¹ = I_B (B पर तत्समक फलन)

फलन व्युत्क्रमणीय (invertible) होता है यदि और केवल यदि वह एकैकी और आच्छादक (bijective) हो।

5. द्विआधारी संक्रियाएँ (Binary Operations)

समुच्चय A पर द्विआधारी संक्रिया * : A × A → A

गुण:

📝 Important Formulas

✏️ Solved Examples (5)

Example 1: तुल्यता सम्बन्ध की जाँच

जाँच कीजिए कि क्या समुच्चय A = {1, 2, 3} में सम्बन्ध R = {(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,1)} तुल्यता सम्बन्ध है?

हल:

स्वतुल्य (Reflexive): (1,1), (2,2), (3,3) ∈ R ✓
सममित (Symmetric): (1,2) ∈ R ⇒ (2,1) ∈ R ✓
संक्रामक (Transitive): (1,2) ∈ R, (2,1) ∈ R ⇒ (1,1) ∈ R ✓
                              (2,1) ∈ R, (1,2) ∈ R ⇒ (2,2) ∈ R ✓

∴ R एक तुल्यता सम्बन्ध है। ✅

Example 2: एकैकी फलन की जाँच

f : R → R, f(x) = 2x + 3. क्या f एकैकी है?

हल:

माना f(x₁) = f(x₂)
⇒ 2x₁ + 3 = 2x₂ + 3
⇒ 2x₁ = 2x₂
⇒ x₁ = x₂

चूँकि f(x₁) = f(x₂) ⇒ x₁ = x₂, अतः f एकैकी (injective) है। ✅

Example 3: फलनों का संयोजन

f(x) = x² और g(x) = x + 1 दिया है। (f ∘ g)(x) और (g ∘ f)(x) ज्ञात करें।

हल:

(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x + 1) = (x + 1)² = x² + 2x + 1

(g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(x²) = x² + 1

यहाँ (f ∘ g)(x) ≠ (g ∘ f)(x), अतः संयोजन क्रम-विनिमेय नहीं है। ✅

Example 4: व्युत्क्रम फलन ज्ञात करना

f : R → R, f(x) = 4x – 7 का व्युत्क्रम ज्ञात करें।

हल:

माना y = f(x) = 4x - 7
⇒ y = 4x - 7
⇒ 4x = y + 7
⇒ x = (y + 7)/4

∴ f⁻¹(y) = (y + 7)/4
या f⁻¹(x) = (x + 7)/4

सत्यापन:
f⁻¹(f(x)) = f⁻¹(4x - 7) = (4x - 7 + 7)/4 = 4x/4 = x ✓
f(f⁻¹(x)) = f((x + 7)/4) = 4·(x + 7)/4 - 7 = x + 7 - 7 = x ✓

Example 5: द्विआधारी संक्रिया के गुण

समुच्चय R पर संक्रिया a * b = a + b – ab परिभाषित है। जाँच करें कि * क्रम-विनिमेय और साहचर्य है या नहीं।

हल:

क्रम-विनिमेय:
a * b = a + b - ab
b * a = b + a - ba = a + b - ab (चूँकि ab = ba)
∴ a * b = b * a — क्रम-विनिमेय ✅

साहचर्य:
(a * b) * c = (a + b - ab) * c
= (a + b - ab) + c - (a + b - ab)c
= a + b - ab + c - ac - bc + abc
= a + b + c - ab - bc - ac + abc

a * (b * c) = a * (b + c - bc)
= a + (b + c - bc) - a(b + c - bc)
= a + b + c - bc - ab - ac + abc
= a + b + c - ab - bc - ac + abc

∴ (a * b) * c = a * (b * c) — साहचर्य ✅

📝 Practice Questions (5)

Q1. जाँच कीजिए कि क्या समुच्चय A = {1, 2, 3, 4, 5} में R = {(a,b) : a – b सम है} एक तुल्यता सम्बन्ध है?

Q2. सिद्ध कीजिए कि f : R → R, f(x) = x³ एकैकी और आच्छादक दोनों है।

Q3. f(x) = 2x + 5 और g(x) = x² – 1 दिया है। (f ∘ g)(2) और (g ∘ f)(-1) ज्ञात करें।

(f ∘ g)(2) = f(g(2)) = f(2² - 1) = f(3) = 2(3) + 5 = 11

(g ∘ f)(-1) = g(f(-1)) = g(2(-1) + 5) = g(3) = 3² - 1 = 8

Q4. f : R → R, f(x) = 3x + 2 का व्युत्क्रम ज्ञात करें और सत्यापित करें।

माना y = 3x + 2 ⇒ x = (y - 2)/3
∴ f⁻¹(x) = (x - 2)/3

सत्यापन:
f⁻¹(f(x)) = f⁻¹(3x + 2) = (3x + 2 - 2)/3 = x ✓
f(f⁻¹(x)) = f((x - 2)/3) = 3·(x - 2)/3 + 2 = x - 2 + 2 = x ✓

Q5. R पर संक्रिया a * b = |a – b| परिभाषित है। क्या * द्विआधारी संक्रिया है? क्या यह क्रम-विनिमेय है?

📊 Previous Year Questions (2017-2026)

📅 Generated: 27 July 2026 | 📚 MP Board Class 12 Maths Chapter 1: Relations and Functions
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