MP Board Class 10 Maths Chapter 13: Statistics — Notes, F…
📊 MP Board Class 10 Maths — Chapter 13: सांख्यिकी (Statistics)
📌 Key Concepts & Formulas
1. केन्द्रीय प्रवृत्ति के माप (Measures of Central Tendency)
(a) माध्य (Mean) — तीन विधियाँ
| विधि | सूत्र | कब उपयोग करें |
|---|---|---|
| प्रत्यक्ष विधि (Direct Method) | x̄ = Σfᵢxᵢ / Σfᵢ |
सामान्य डेटा के लिए |
| कल्पित माध्य विधि (Assumed Mean Method) | x̄ = a + (Σfᵢdᵢ / Σfᵢ) जहाँ dᵢ = xᵢ − a |
बड़ी संख्याओं के लिए |
| पग-विचलन विधि (Step Deviation Method) | x̄ = a + h(Σfᵢuᵢ / Σfᵢ) जहाँ uᵢ = (xᵢ − a)/h |
समान वर्ग-अंतराल के लिए |
2. वर्गीकृत डेटा का बहुलक (Mode of Grouped Data)
सूत्र:
Mode = l + [(f₁ − f₀) / (2f₁ − f₀ − f₂)] × h
जहाँ:
– l = बहुलक वर्ग की निचली सीमा
– f₁ = बहुलक वर्ग की बारंबारता
– f₀ = बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता
– f₂ = बहुलक वर्ग के ठीक बाद वाले वर्ग की बारंबारता
– h = वर्ग-अंतराल का आकार
3. वर्गीकृत डेटा का माध्यक (Median of Grouped Data)
सूत्र:
Median = l + [(n/2 − cf) / f] × h
जहाँ:
– l = माध्यक वर्ग की निचली सीमा
– n = Σf (कुल बारंबारता)
– cf = माध्यक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता
– f = माध्यक वर्ग की बारंबारता
– h = वर्ग-अंतराल का आकार
4. आनुभविक संबंध (Empirical Relationship)
3 × माध्यक = बहुलक + 2 × माध्य
| यदि बंटन | तो संबंध |
|---|---|
| सममित (Symmetric) | माध्य = माध्यक = बहुलक |
| विषम (Skewed) | बहुलक = 3 × माध्यक − 2 × माध्य |
5. बारंबारता बहुभुज (Frequency Polygon) और तोरण (Ogive)
- बारंबारता बहुभुज: वर्गों के मध्य-बिंदुओं को मिलाने से बनता है
- से कम तोरण (Less Than Ogive): ऊपरी सीमा vs संचयी बारंबारता
- से अधिक तोरण (More Than Ogive): निचली सीमा vs संचयी बारंबारता
- दोनों तोरणों का प्रतिच्छेदन बिंदु → माध्यक
📝 Solved Examples (5)
Example 1: माध्य ज्ञात करें — प्रत्यक्ष विधि
निम्नलिखित डेटा से माध्य ज्ञात करें:
| अंक | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 |
|---|---|---|---|---|---|
| छात्रों की संख्या | 3 | 5 | 8 | 4 | 2 |
हल:
| xᵢ | fᵢ | fᵢxᵢ |
|---|---|---|
| 10 | 3 | 30 |
| 20 | 5 | 100 |
| 30 | 8 | 240 |
| 40 | 4 | 160 |
| 50 | 2 | 100 |
| योग | Σfᵢ = 22 | Σfᵢxᵢ = 630 |
x̄ = Σfᵢxᵢ / Σfᵢ = 630 / 22 = 28.64 ✅
Example 2: माध्य ज्ञात करें — पग-विचलन विधि
| वर्ग | 0−10 | 10−20 | 20−30 | 30−40 | 40−50 |
|---|---|---|---|---|---|
| fᵢ | 5 | 8 | 15 | 10 | 2 |
हल: a = 25 (कल्पित माध्य), h = 10
| वर्ग | xᵢ (मध्य-बिंदु) | fᵢ | dᵢ = xᵢ − a | uᵢ = dᵢ/h | fᵢuᵢ |
|---|---|---|---|---|---|
| 0−10 | 5 | 5 | −20 | −2 | −10 |
| 10−20 | 15 | 8 | −10 | −1 | −8 |
| 20−30 | 25 | 15 | 0 | 0 | 0 |
| 30−40 | 35 | 10 | 10 | 1 | 10 |
| 40−50 | 45 | 2 | 20 | 2 | 4 |
| योग | 40 | Σfᵢuᵢ = −4 |
x̄ = a + h(Σfᵢuᵢ / Σfᵢ) = 25 + 10(−4/40) = 25 − 1 = 24 ✅
Example 3: बहुलक (Mode) ज्ञात करें
| वर्ग | 0−20 | 20−40 | 40−60 | 60−80 | 80−100 |
|---|---|---|---|---|---|
| fᵢ | 5 | 12 | 18 | 10 | 5 |
हल:
सबसे अधिक बारंबारता 18 है → बहुलक वर्ग = 40−60
- l = 40, f₁ = 18, f₀ = 12, f₂ = 10, h = 20
Mode = l + [(f₁ − f₀) / (2f₁ − f₀ − f₂)] × h
= 40 + [(18 − 12) / (2×18 − 12 − 10)] × 20
= 40 + [6 / (36 − 22)] × 20
= 40 + (6/14) × 20
= 40 + 8.57
= 48.57 ✅
Example 4: माध्यक (Median) ज्ञात करें
| वर्ग | 10−20 | 20−30 | 30−40 | 40−50 | 50−60 |
|---|---|---|---|---|---|
| fᵢ | 4 | 6 | 10 | 8 | 2 |
हल:
| वर्ग | fᵢ | संचयी बारंबारता (cf) |
|---|---|---|
| 10−20 | 4 | 4 |
| 20−30 | 6 | 10 |
| 30−40 | 10 | 20 |
| 40−50 | 8 | 28 |
| 50−60 | 2 | 30 |
| योग | n = 30 |
n/2 = 15 → माध्यक वर्ग = 30−40 (जहाँ cf पहली बार 15 से बड़ा होता है)
- l = 30, cf = 10, f = 10, h = 10
Median = l + [(n/2 − cf) / f] × h
= 30 + [(15 − 10) / 10] × 10
= 30 + (5/10) × 10
= 30 + 5
= 35 ✅
Example 5: आनुभविक संबंध से बहुलक ज्ञात करें
एक बंटन में माध्य = 30 और माध्यक = 32 है। बहुलक ज्ञात करें।
हल:
आनुभविक संबंध: 3 × Median = Mode + 2 × Mean
3 × 32 = Mode + 2 × 30
96 = Mode + 60
Mode = 96 − 60 = 36 ✅
✏️ Practice Questions (5)
Q1. निम्नलिखित डेटा का माध्य प्रत्यक्ष विधि से ज्ञात करें:
| xᵢ | 5 | 15 | 25 | 35 | 45 |
|---|---|---|---|---|---|
| fᵢ | 2 | 6 | 10 | 8 | 4 |
👉 उत्तर देखें
Σfᵢ = 30, Σfᵢxᵢ = 760
**x̄ = 760/30 = 25.33**
Q2. पग-विचलन विधि से माध्य ज्ञात करें:
| वर्ग | 0−10 | 10−20 | 20−30 | 30−40 | 40−50 |
|---|---|---|---|---|---|
| fᵢ | 7 | 12 | 18 | 10 | 3 |
👉 उत्तर देखें
a = 25, h = 10, Σfᵢuᵢ = −2, Σfᵢ = 50
**x̄ = 25 + 10(−2/50) = 25 − 0.4 = 24.6**
Q3. बहुलक ज्ञात करें:
| वर्ग | 10−25 | 25−40 | 40−55 | 55−70 | 70−85 |
|---|---|---|---|---|---|
| fᵢ | 6 | 10 | 20 | 8 | 6 |
👉 उत्तर देखें
बहुलक वर्ग = 40−55, l = 40, f₁ = 20, f₀ = 10, f₂ = 8, h = 15
Mode = 40 + [(20 − 10) / (40 − 10 − 8)] × 15
= 40 + (10/22) × 15
= 40 + 6.82
**= 46.82**
Q4. माध्यक ज्ञात करें:
| वर्ग | 20−30 | 30−40 | 40−50 | 50−60 | 60−70 |
|---|---|---|---|---|---|
| fᵢ | 5 | 8 | 12 | 10 | 5 |
👉 उत्तर देखें
n = 40, n/2 = 20
माध्यक वर्ग = 40−50, l = 40, cf = 13, f = 12, h = 10
Median = 40 + [(20 − 13) / 12] × 10
= 40 + (7/12) × 10
= 40 + 5.83
**= 45.83**
Q5. एक बंटन में माध्य = 45 और बहुलक = 51 है। आनुभविक संबंध का प्रयोग कर माध्यक ज्ञात करें।
👉 उत्तर देखें
3 × Median = Mode + 2 × Mean
3 × Median = 51 + 2 × 45
3 × Median = 51 + 90 = 141
**Median = 141 / 3 = 47**
📅 Generated: 09 July 2026 | 📚 MP Board Class 10 Maths