📐 MP Board Class 10 Maths — Chapter 7: निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry)

📌 Key Concepts & Formulas

1. निर्देशांक पद्धति (Coordinate System)

निर्देशांक तल (Coordinate Plane): X-अक्ष (क्षैतिज) और Y-अक्ष (ऊर्ध्वाधर) के परस्पर लंबवत प्रतिच्छेद से बना तल।

• मूल बिंदु (Origin): O(0, 0) — जहाँ X-अक्ष और Y-अक्ष मिलते हैं
• भुज (Abscissa): किसी बिंदु का X-निर्देशांक (x-coordinate)
• कोटि (Ordinate): किसी बिंदु का Y-निर्देशांक (y-coordinate)
• बिंदु P(x, y) में: x = X-अक्ष से दूरी (भुज), y = Y-अक्ष से दूरी (कोटि)
• मूल बिंदु के निर्देशांक = (0, 0)

2. दो बिंदुओं के बीच की दूरी (Distance Formula)

दो बिंदुओं P(x₁, y₁) और Q(x₂, y₂) के बीच की दूरी:

[
PQ = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}
]

• मूल बिंदु O(0, 0) से बिंदु P(x, y) की दूरी = (\sqrt{x^2 + y^2})

3. विभाजन सूत्र (Section Formula)

आंतरिक विभाजन (Internal Division)

बिंदु P(x, y) जो रेखाखंड AB को m₁ : m₂ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है:

[
P(x, y) = \left( \frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1 + m_2}, \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1 + m_2} \right)
]

मध्य-बिंदु (Midpoint Formula) — जब m₁ = m₂ = 1:

[
M(x, y) = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)
]

4. त्रिभुज का क्षेत्रफल (Area of Triangle)

शीर्षों A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल:

[
\text{Area} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 – y_3) + x_2(y_3 – y_1) + x_3(y_1 – y_2) \right|
]

• यदि क्षेत्रफल = 0, तो तीनों बिंदु संरेख (collinear) हैं।

5. संरेखता की शर्त (Collinearity Condition)

तीन बिंदु A, B, C संरेख होंगे यदि:
– इनसे बने त्रिभुज का क्षेत्रफल = 0
या
– AB + BC = AC (दूरी सूत्र से)

📝 Solved Examples (5)

Example 1: दो बिंदुओं के बीच दूरी ज्ञात करना

बिंदु A(3, 4) और B(7, 1) के बीच की दूरी ज्ञात करें।

हल:

दूरी सूत्र का प्रयोग:
[
AB = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}
]
[
AB = \sqrt{(7 – 3)^2 + (1 – 4)^2}
]
[
AB = \sqrt{4^2 + (-3)^2}
]
[
AB = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = \textbf{5 इकाई}
]

Example 2: बिंदु की अक्षों से दूरी

बिंदु P(-4, 3) की X-अक्ष और Y-अक्ष से दूरी ज्ञात करें।

हल:

X-अक्ष से दूरी = |y-निर्देशांक| = |3| = 3 इकाई
Y-अक्ष से दूरी = |x-निर्देशांक| = |-4| = 4 इकाई

मूल बिंदु से दूरी = (\sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = \textbf{5 इकाई}) ✅

Example 3: विभाजन सूत्र — बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना

बिंदु P, बिंदुओं A(2, -3) और B(7, 7) को मिलाने वाले रेखाखंड को 2 : 3 के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है। P के निर्देशांक ज्ञात करें।

हल:

m₁ = 2, m₂ = 3
A(x₁, y₁) = (2, -3), B(x₂, y₂) = (7, 7)

[
x = \frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1 + m_2} = \frac{2(7) + 3(2)}{2 + 3} = \frac{14 + 6}{5} = \frac{20}{5} = 4
]

[
y = \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1 + m_2} = \frac{2(7) + 3(-3)}{2 + 3} = \frac{14 – 9}{5} = \frac{5}{5} = 1
]

P = (4, 1) ✅

Example 4: मध्य-बिंदु ज्ञात करना

बिंदुओं A(-3, 5) और B(7, -1) के मध्य-बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें।

हल:

मध्य-बिंदु सूत्र:
[
M(x, y) = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)
]

[
x = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2
]
[
y = \frac{5 + (-1)}{2} = \frac{4}{2} = 2
]

M = (2, 2) ✅

Example 5: त्रिभुज का क्षेत्रफल और संरेखता की जाँच

जाँच करें कि बिंदु A(1, 1), B(2, 3), C(3, 5) संरेख हैं या नहीं।

हल:

त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें:
[
\text{Area} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 – y_3) + x_2(y_3 – y_1) + x_3(y_1 – y_2) \right|
]
[
= \frac{1}{2} \left| 1(3 – 5) + 2(5 – 1) + 3(1 – 3) \right|
]
[
= \frac{1}{2} \left| 1(-2) + 2(4) + 3(-2) \right|
]
[
= \frac{1}{2} \left| -2 + 8 – 6 \right| = \frac{1}{2} \left| 0 \right| = 0
]

क्षेत्रफल = 0 है, अतः तीनों बिंदु संरेख (collinear) हैं। ✅

वैकल्पिक विधि — ढाल (Slope) से:
AB का ढाल = (3 – 1)/(2 – 1) = 2/1 = 2
BC का ढाल = (5 – 3)/(3 – 2) = 2/1 = 2
दोनों ढाल बराबर हैं → संरेख ✅

✏️ Practice Questions (5)

Q1. बिंदुओं A(2, -1) और B(-4, 7) के बीच की दूरी ज्ञात करें।

Q2. बिंदु P, बिंदुओं A(4, -3) और B(9, 7) को मिलाने वाले रेखाखंड को 3 : 2 के अनुपात में विभाजित करता है। P के निर्देशांक ज्ञात करें।

Q3. सिद्ध करें कि बिंदु A(2, -2), B(7, 3), C(12, 8) संरेख हैं।

Q4. बिंदुओं A(3, 2) और B(7, 6) के मध्य-बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें और मूल बिंदु से इसकी दूरी भी ज्ञात करें।

Q5. यदि त्रिभुज ABC के शीर्ष A(1, 0), B(4, 3) और C(6, y) हैं, और त्रिभुज का क्षेत्रफल 6 वर्ग इकाई है, तो y का मान ज्ञात करें।

📅 Generated: 28 June 2026 | 📚 MP Board Class 10 Maths