🔢 MP Board Class 10 Maths — Chapter 2: बहुपद (Polynomials)

📌 Key Concepts & Formulas

1. बहुपद की परिभाषा (Definition of Polynomial)

एक बीजीय व्यंजक (algebraic expression) जिसमें चर (variable) की घात (power) एक पूर्ण संख्या (whole number) हो, बहुपद कहलाता है।

• सामान्य रूप: p(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀
• aₙ, aₙ₋₁, ..., a₀ = गुणांक (Coefficients) — वास्तविक संख्याएँ
• aₙ ≠ 0 (प्रमुख गुणांक / Leading coefficient)
• n = बहुपद की घात (Degree)

2. बहुपद के शून्यक (Zeros of a Polynomial)

परिभाषा: यदि p(k) = 0 हो, तो k को बहुपद p(x) का शून्यक (zero/root) कहते हैं।

• रैखिक बहुपद (ax + b): केवल एक शून्यक → x = -b/a
• द्विघात बहुपद (ax² + bx + c): अधिकतम दो शून्यक
• त्रिघात बहुपद (ax³ + bx² + cx + d): अधिकतम तीन शून्यक

महत्वपूर्ण: घात n के बहुपद में अधिकतम n शून्यक हो सकते हैं।

3. द्विघात बहुपद के शून्यक और गुणांकों में संबंध (Relationship between Zeros and Coefficients)

यदि α (alpha) और β (beta) द्विघात बहुपद ax² + bx + c के शून्यक हों, तो:

• शून्यकों का योग (Sum of zeros): α + β = -b/a
• शून्यकों का गुणनफल (Product of zeros): α × β = c/a

द्विघात बहुपद का निर्माण: यदि α और β शून्यक हों, तो बहुपद है:
x² - (α + β)x + αβ

4. त्रिघात बहुपद के शून्यक और गुणांकों में संबंध

यदि α, β, γ (gamma) त्रिघात बहुपद ax³ + bx² + cx + d के शून्यक हों, तो:

• α + β + γ = -b/a
• αβ + βγ + γα = c/a
• α × β × γ = -d/a

5. बहुपदों के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म (Division Algorithm for Polynomials)

कथन: यदि p(x) और g(x) कोई दो बहुपद हैं (जहाँ g(x) ≠ 0), तो ऐसे अद्वितीय बहुपद q(x) (भागफल) और r(x) (शेषफल) मिलते हैं कि:
p(x) = g(x) × q(x) + r(x)
जहाँ r(x) की घात < g(x) की घात या r(x) = 0

6. शून्यकों से बहुपद बनाना — ग्राफ़ीय विधि (Graphical Representation)

• रैखिक बहुपद (Degree 1): ग्राफ़ एक सीधी रेखा — x-अक्ष को एक बिंदु पर काटती है
• द्विघात बहुपद (Degree 2): ग्राफ़ एक परवलय (parabola) — x-अक्ष को 0, 1, या 2 बिंदुओं पर काट सकता है
• त्रिघात बहुपद (Degree 3): ग्राफ़ x-अक्ष को अधिकतम 3 बिंदुओं पर काट सकता है

x-अक्ष के कटान बिंदु = बहुपद के शून्यक (वास्तविक शून्यक)

📝 Solved Examples (5)

Example 1: शून्यक ज्ञात करें — p(x) = x² - 3x - 4

Step 1: मध्य पद को विभाजित करें (Factorisation by splitting middle term)

x² - 3x - 4
= x² - 4x + x - 4
= x(x - 4) + 1(x - 4)
= (x - 4)(x + 1)

Step 2: शून्यक ज्ञात करें

(x - 4)(x + 1) = 0
x - 4 = 0 या x + 1 = 0
x = 4 या x = -1

जाँच (शून्यक और गुणांकों में संबंध):
– α + β = 4 + (-1) = 3 ✓ (उम्मीद: -b/a = -(-3)/1 = 3 ✓)
– α × β = 4 × (-1) = -4 ✓ (उम्मीद: c/a = -4/1 = -4 ✓)

✅ शून्यक: 4 और -1

Example 2: एक द्विघात बहुपद ज्ञात करें जिसके शून्यकों का योग 5 और गुणनफल 6 है।

Step 1: सूत्र का उपयोग करें

α + β = 5, α × β = 6

द्विघात बहुपद = x² - (α + β)x + αβ
= x² - 5x + 6

Step 2: जाँच — शून्यक ज्ञात करें
x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)
शून्यक = 2 और 3
योग = 2 + 3 = 5 ✓
गुणनफल = 2 × 3 = 6 ✓

✅ बहुपद: x² – 5x + 6

Example 3: p(x) = 2x² - 8x + 6 के शून्यक ज्ञात करें और गुणांकों से संबंध सत्यापित करें।

Step 1: शून्यक ज्ञात करें

2x² - 8x + 6 = 0
दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करें:
x² - 4x + 3 = 0
(x - 1)(x - 3) = 0
x = 1 या x = 3

Step 2: संबंध सत्यापित करें

• α + β = 1 + 3 = 4
  -b/a = -(-8)/2 = 8/2 = 4 ✓

• α × β = 1 × 3 = 3
  c/a = 6/2 = 3 ✓

✅ शून्यक: 1 और 3 — संबंध सत्यापित

Example 4: p(x) = 3x³ - 5x² - 11x - 3 के शून्यकों और गुणांकों में संबंध जाँचें, यदि एक शून्यक 3 है।

Step 1: सत्यापित करें कि 3 एक शून्यक है

p(3) = 3(27) - 5(9) - 11(3) - 3
= 81 - 45 - 33 - 3
= 0 ✅

Step 2: कृत्रिम भाग (Synthetic Division) द्वारा अन्य शून्यक ज्ञात करें

3 | 3 -5 -11 -3
| 9 12 3

3   4     1    0

q(x) = 3x² + 4x + 1

Step 3: 3x² + 4x + 1 के शून्यक

3x² + 4x + 1 = 0
3x² + 3x + x + 1 = 0
3x(x + 1) + 1(x + 1) = 0
(x + 1)(3x + 1) = 0
x = -1 या x = -1/3

अतः शून्यक: α = 3, β = -1, γ = -1/3

Step 4: संबंध सत्यापित करें
– α + β + γ = 3 + (-1) + (-1/3) = 2 – 1/3 = 5/3
-b/a = -(-5)/3 = 5/3 ✓

• αβ + βγ + γα = 3(-1) + (-1)(-1/3) + (-1/3)(3)
  = -3 + 1/3 – 1 = -11/3
  c/a = -11/3 ✓

• αβγ = 3 × (-1) × (-1/3) = 1
  -d/a = -(-3)/3 = 1 ✓

✅ सभी संबंध सत्यापित!

Example 5: p(x) = x⁴ - 3x² + 2 को g(x) = x² - 1 से विभाजित करें और विभाजन एल्गोरिथ्म सत्यापित करें।

Step 1: विभाजन

        x² - 2
    _____________
x²-1 | x⁴ + 0x³ - 3x² + 0x + 2
        x⁴ + 0x³ -  x²
        -----------------
                - 2x² + 0x + 2
                - 2x² + 0x + 2
                ----------------
                          0

भागफल q(x) = x² - 2, शेषफल r(x) = 0

Step 2: विभाजन एल्गोरिथ्म सत्यापित करें

p(x) = g(x) × q(x) + r(x)
= (x² - 1)(x² - 2) + 0
= x⁴ - 2x² - x² + 2
= x⁴ - 3x² + 2 ✓

✅ एल्गोरिथ्म सत्यापित — शेषफल = 0 (पूर्णतः विभाज्य)

✏️ Practice Questions (5)

Q1. बहुपद x² - 9 के शून्यक ज्ञात करें।

Q2. एक द्विघात बहुपद ज्ञात करें जिसके शून्यकों का योग -2 और गुणनफल -15 है।

Q3. यदि α और β बहुपद x² - 5x + k के शून्यक हैं और α - β = 1 है, तो k का मान ज्ञात करें।

Q4. बहुपद 2x² - 7x + 3 के शून्यक ज्ञात करें और शून्यकों तथा गुणांकों में संबंध सत्यापित करें।

Q5. बहुपद 2x⁴ - 3x³ - 3x² + 6x - 2 को x² - 2 से विभाजित करें और विभाजन एल्गोरिथ्म सत्यापित करें।

        2x² - 3x + 1
    __________________
x²-2 | 2x⁴ - 3x³ - 3x² + 6x - 2
       2x⁴ + 0x³ - 4x²
       ----------------
             -3x³ + x² + 6x
             -3x³ + 0x² + 6x
             ---------------
                      x² + 0x - 2
                      x² + 0x - 2
                      -----------
                              0

📅 Generated: 22 June 2026 | 📚 MP Board Class 10 Maths — Chapter 2: बहुपद (Polynomials)