MP Board Class 10 Maths Chapter 1: Real Numbers — Notes, Formulas & Practice Questions
🔢 🔢 MP Board Class 10 Maths — Chapter 1: वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers)
📌 Key Concepts & Formulas
1. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका (Euclid’s Division Lemma)
कथन: किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों
aऔरbके लिए, अद्वितीय (unique) पूर्णांकqऔरrइस प्रकार मिलते हैं कि:
a = bq + r, जहाँ 0 ≤ r < b
a= भाज्य (Dividend)b= भाजक (Divisor)q= भागफल (Quotient)r= शेषफल (Remainder)
उपयोग: HCF निकालने में (Euclid’s Division Algorithm)
2. यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म (Euclid’s Division Algorithm) — HCF
चरण:
1. बड़ी संख्या = a, छोटी संख्या = b
2. a = bq + r (0 ≤ r < b) लिखें
3. अब b = नई a, r = नई b लें और फिर से विभाजित करें
4. इस प्रक्रिया को तब तक दोहराएँ जब तक r = 0 न हो जाए
5. अंतिम भाजक = HCF
3. अभाज्य गुणनखंड विधि (Prime Factorisation Method) — HCF & LCM
- HCF = साझा (common) अभाज्य गुणनखंडों की सबसे छोटी घातों का गुणनफल
- LCM = सभी अभाज्य गुणनखंडों की सबसे बड़ी घातों का गुणनफल
महत्वपूर्ण सूत्र: HCF(a,b) × LCM(a,b) = a × b
4. अपरिमेय संख्याएँ (Irrational Numbers)
- वे संख्याएँ जिन्हें p/q के रूप में नहीं लिखा जा सकता (जहाँ q ≠ 0)
- उदाहरण: √2, √3, √5, π, 0.1010010001…
सिद्ध करना: मान लें √2 परिमेय है → √2 = p/q (p, q सह-अभाज्य)
→ 2q² = p² → p² 2 से विभाज्य → p 2 से विभाज्य
→ p = 2m → 2q² = 4m² → q² = 2m² → q भी 2 से विभाज्य
→ विरोधाभास (p और q सह-अभाज्य नहीं रहे)
→ ∴ √2 अपरिमेय है
5. अंकगणित की आधारभूत प्रमेय (Fundamental Theorem of Arithmetic)
प्रत्येक भाज्य (composite) संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में अद्वितीय रूप से निरूपित किया जा सकता है।
उदाहरण: 32760 = 2³ × 3² × 5 × 7 × 13
6. दशमलव प्रसार (Decimal Expansions)
- सांत (Terminating): यदि हर (denominator) 2ⁿ × 5ᵐ के रूप में हो
- असांत आवर्ती (Non-terminating Repeating): यदि हर में 2 या 5 के अलावा कोई अन्य अभाज्य गुणनखंड हो
📝 Solved Examples (5)
Example 1: HCF ज्ञात करें — 405 और 2520
Euclid’s Division Algorithm:
2520 = 405 × 6 + 90
405 = 90 × 4 + 45
90 = 45 × 2 + 0
HCF = 45 ✅
Example 2: LCM और HCF ज्ञात करें — 6, 72, 120
अभाज्य गुणनखंड:
– 6 = 2 × 3
– 72 = 2³ × 3²
– 120 = 2³ × 3 × 5
HCF = 2¹ × 3¹ = 6 (साझा गुणनखंडों की सबसे छोटी घात)
LCM = 2³ × 3² × 5¹ = 8 × 9 × 5 = 360 (सबसे बड़ी घात)
जाँच: HCF × LCM = 6 × 360 = 2160
6 × 72 × 120 = 51840 ≠ 2160 — यह सूत्र दो संख्याओं के लिए है
Example 3: HCF(306, 657) = 9 दिया है। LCM(306, 657) ज्ञात करें।
सूत्र: LCM = (a × b) / HCF
LCM = (306 × 657) / 9
LCM = 201042 / 9
LCM = 22338 ✅
Example 4: सिद्ध करें कि 3√2 अपरिमेय है।
मान लें: 3√2 परिमेय है।
3√2 = p/q (p, q पूर्णांक, q ≠ 0, p और q सह-अभाज्य)
√2 = p/(3q)
चूँकि p और q पूर्णांक हैं, p/(3q) एक परिमेय संख्या है।
इसका मतलब √2 परिमेय है।
लेकिन हम जानते हैं √2 अपरिमेय है — विरोधाभास!
∴ हमारी मान्यता गलत है। 3√2 अपरिमेय है। ✅
Example 5: जाँच करें — 17/8 का दशमलव प्रसार सांत है या असांत?
हर: 8 = 2³ = 2³ × 5⁰
हर का रूप 2ⁿ × 5ᵐ है (n = 3, m = 0)
∴ सांत (Terminating) दशमलव प्रसार होगा।
17/8 = 2.125 ✅
✏️ Practice Questions (5)
Q1. यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कर 867 और 255 का HCF ज्ञात करें।
👉 उत्तर देखें
**867 = 255 × 3 + 102**
**255 = 102 × 2 + 51**
**102 = 51 × 2 + 0**
**HCF = 51**
Q2. सिद्ध करें कि √3 एक अपरिमेय संख्या है।
👉 उत्तर देखें
मान लें √3 = p/q (p, q सह-अभाज्य)
→ 3q² = p² → p² 3 से विभाज्य → p = 3m
→ 3q² = 9m² → q² = 3m² → q भी 3 से विभाज्य
→ p और q सह-अभाज्य नहीं रहे — विरोधाभास
∴ √3 अपरिमेय है
Q3. HCF(96, 404) ज्ञात करें और फिर LCM ज्ञात करें।
👉 उत्तर देखें
96 = 2⁵ × 3
404 = 2² × 101
HCF = 2² = 4
LCM = (96 × 404) / 4 = 38784 / 4 = 9696
LCM = 9696
Q4. क्या 15/1600 का दशमलव प्रसार सांत होगा? यदि हाँ, तो मान ज्ञात करें।
👉 उत्तर देखें
1600 = 2⁶ × 5² — सांत (Terminating) होगा।
15/1600 = 3/320 = 0.009375
Q5. दो संख्याओं का LCM 2520 और HCF 30 है। यदि एक संख्या 210 है, तो दूसरी संख्या ज्ञात करें।
👉 उत्तर देखें
**सूत्र:** LCM × HCF = a × b
2520 × 30 = 210 × b
75600 = 210b
b = 75600 / 210 = 360
दूसरी संख्या = **360**
📅 Generated: 15 June 2026 | 📚 MP Board Class 10 Maths